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正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{2}{=}{6}{，}{{a}_{6}}{=}{−}{2}}$$，现从$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}}$$项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取$${{3}}$$次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数一个负数的概率为（）
B
A.$$\frac{3} {2 5}$$
B.$$\frac{6} {2 5}$$
C.$$\frac{9} {2 5}$$
D.$$\frac{1 2} {2 5}$$
2、['组合数及其性质']正确率80.0%若$${{C}^{x}_{6}{=}{{C}^{2}_{6}}{，}}$$则$${{x}}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
3、['组合数及其性质'， '展开式中的特定项或特定项的系数'， '二项展开式的通项']正确率40.0%已知$${{C}^{2}_{n}{=}{{C}^{4}_{n}}}$$，则$$( 2 x-\frac{1} {x^{2}} )^{n}$$的二项展开式中，常数项为（）
A
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{−}{{2}{4}{0}}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.不存在
4、['组合数及其性质']正确率60.0%若$$C_{8}^{2 x-1}=C_{8}^{x+3}$$，则$${{x}}$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$或$${{2}}$$
B.$${{3}}$$或$${{4}}$$
C.$${{1}}$$或$${{3}}$$
D.$${{2}}$$或$${{4}}$$
5、['组合数及其性质'， '排列与组合的综合应用'， '分步乘法计数原理'， '排列数及排列数公式']正确率60.0%将甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁四名同学分配到$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$三个宿舍，每个宿舍至少$${{1}}$$人，则不同分法是
D
A.$${{9}{6}}$$
B.$${{7}{8}}$$
C.$${{4}{8}}$$
D.$${{3}{6}}$$
6、['组合数及其性质'， '组合的应用']正确率60.0%在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯$${{5}{5}}$$次，则参加酒会的人数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{9}}$$人
B.$${{1}{0}}$$人
C.$${{1}{1}}$$人
D.$${{1}{2}}$$人
7、['组合数及其性质']正确率60.0%$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，则$${{(}{{2}{1}}{−}{n}{)}{{(}{{2}{2}}{−}{n}{)}}{⋅}{⋅}{⋅}{{(}{{1}{0}{0}}{−}{n}{)}}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$$A_{1 0 0-n}^{8 0}$$
B.$$A_{1 0 0-n}^{2 1-n}$$
C.$$A_{1 0 0-n}^{7 9}$$
D.$$A_{1 0 0}^{2 1-n}$$
8、['组合数及其性质']正确率60.0%计算$${{C}^{2}_{2}{+}{{C}^{2}_{3}}{+}{{C}^{2}_{4}}{+}{{C}^{2}_{5}}{+}{{C}^{2}_{6}}}$$的值是
D
A.$${{1}{9}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{3}{4}}$$
D.$${{3}{5}}$$
9、['组合数及其性质'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']正确率40.0%已知$${{b}{{x}^{n}}{+}{1}{=}{{a}_{0}}{+}{{a}_{1}}{(}{x}{−}{1}{)}{+}{{a}_{2}}{{(}{x}{−}{1}{)}^{2}}{+}{⋯}{+}{{a}_{n}}{{(}{x}{−}{1}{)}^{n}}}$$对任意$${{x}{∈}{R}}$$恒成立，且$${{a}_{1}{=}{9}{，}{{a}_{2}}{=}{{3}{6}}}$$，则$${{b}{=}}$$（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
10、['组合数及其性质']正确率0.0%杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设$${{f}{{(}{n}{)}}{=}{{(}{a}{+}{b}{)}^{n}}{{(}{n}{∈}{{N}^{*}}{，}{n}{⩾}{2}{)}}}$$，若$${{f}{(}{n}{)}}$$的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称$${{f}{(}{n}{)}}$$具有性质$${{P}{.}}$$如$${{f}{(}{7}{)}{=}{(}{a}{+}{b}{{)}^{7}}}$$的展开式中，二、三、四项的二项式系数为$${{7}}$$，$${{2}{1}}$$，$${{3}{5}}$$，依次成等差数列，所以$${{f}{(}{7}{)}}$$具有性质$${{P}{.}}$$若存在$${{n}{⩽}{{2}{5}}}$$，使$${{f}{(}{n}{)}}$$具有性质$${{P}}$$，则$${{n}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{2}{3}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{5}}$$
1. 解析：
首先确定等差数列的通项公式。已知 $$a_2 = 6$$，$$a_6 = -2$$，设公差为 $$d$$，首项为 $$a_1$$，则有：
$$a_2 = a_1 + d = 6$$
$$a_6 = a_1 + 5d = -2$$
解得 $$d = -2$$，$$a_1 = 8$$。通项公式为 $$a_n = 10 - 2n$$。
前10项为：$$8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8, -10$$。其中正数有4个（$$8, 6, 4, 2$$），负数有5个（$$-2, -4, -6, -8, -10$$），0有1个。
每次取数，取到正数的概率为 $$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$，负数的概率为 $$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$。
三次取数中恰好两个正数一个负数的概率为：
$$C^2_3 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{1}{2} = \frac{12}{50} = \frac{6}{25}$$
答案为 B。
2. 解析：
根据组合数的性质，$$C^x_6 = C^2_6$$，则 $$x = 2$$ 或 $$x = 6 - 2 = 4$$。
答案为 D。
3. 解析：
由 $$C^2_n = C^4_n$$，得 $$n = 6$$（因为 $$2 + 4 = 6$$）。
展开式 $$(2x - \frac{1}{x^2})^6$$ 的通项为：
$$T_{k+1} = C^k_6 (2x)^{6-k} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^k = C^k_6 2^{6-k} (-1)^k x^{6-3k}$$
令 $$6 - 3k = 0$$，得 $$k = 2$$。
常数项为 $$T_3 = C^2_6 \times 2^4 \times (-1)^2 = 15 \times 16 \times 1 = 240$$。
答案为 A。
4. 解析：
由组合数的性质，$$C^{2x-1}_8 = C^{x+3}_8$$，则：
$$2x - 1 = x + 3$$ 或 $$2x - 1 + x + 3 = 8$$。
解得 $$x = 4$$ 或 $$x = 2$$。
答案为 D。
5. 解析：
四名同学分配到三个宿舍，每个宿舍至少1人，属于分组分配问题。
先分组，有 $$C^2_4 \times C^1_2 \times C^1_1 = 6$$ 种（2-1-1分组）。
再分配到三个宿舍，有 $$A^3_3 = 6$$ 种。
总数为 $$6 \times 6 = 36$$ 种。
答案为 D。
6. 解析：
设参加酒会的人数为 $$n$$，则碰杯次数为 $$C^2_n = \frac{n(n-1)}{2} = 55$$。
解得 $$n(n-1) = 110$$，即 $$n = 11$$。
答案为 C。
7. 解析：
表达式 $$(21 - n)(22 - n) \cdots (100 - n)$$ 共有 $$100 - 20 = 80$$ 个连续因数。
排列数公式为 $$A^{80}_{100 - n}$$。
答案为 A。
8. 解析：
利用组合数性质 $$C^2_2 + C^2_3 + \cdots + C^2_6 = C^3_7 = 35$$。
答案为 D。
9. 解析：
将 $$bx^n + 1$$ 展开为 $$(x-1)$$ 的多项式，利用泰勒展开：
$$a_1 = n b = 9$$
$$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} b = 36$$
解得 $$n = 4$$，$$b = 1$$。
答案为 D。
10. 解析：
杨辉三角中连续三项的二项式系数为 $$C^{k-1}_n$$，$$C^k_n$$，$$C^{k+1}_n$$，成等差数列的条件是：
$$2 C^k_n = C^{k-1}_n + C^{k+1}_n$$
化简得 $$n = 2k$$ 或 $$n = 2k + 1$$。
在 $$n \leq 25$$ 时，最大满足条件的 $$n$$ 为 23（当 $$k = 11$$ 时）。
答案为 B。