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正确率60.0%化简$$\mathrm{A}_{m}^{m}+\mathrm{A}_{m+1}^{m}+\mathrm{A}_{m+2}^{m}+\ldots+\mathrm{A}_{2 m}^{m}$$的结果为（）
B
A.$$\mathbf{A}_{2 m}^{m+1}$$
B.$$\mathrm{A}_{2 m+1}^{m}$$
C.$$C_{2 m+1}^{m+1}$$
D.$$\mathrm{A}_{4 m+1}^{2 m}$$
2、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']正确率60.0%已知$$\mathrm{A}_{2 n}^{3}=7 C_{n}^{n-1} \mathrm{A}_{n}^{2}，$$则$${{n}{=}}$$（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
3、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']正确率60.0%若$$\mathrm{C}_{3}^{3}+\mathrm{C}_{4}^{3}+\mathrm{C}_{5}^{3}+\mathrm{C}_{6}^{3}+\ldots+\mathrm{C}_{1 9}^{3}=\mathrm{C}_{2 0}^{m}， \mathrm{~ \mathrm{~ A}_{2 n}^{2}=\mathrm{~ A}_{3}^{2} \mathrm{~ A}_{n}^{2} ~}，$$则$${{m}{+}{n}{=}}$$（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$或$${{1}{8}}$$
D.$${{7}}$$或$${{2}{1}}$$
4、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']正确率60.0%若$$\mathrm{A}_{m}^{3}=6 \mathrm{C}_{m}^{4}$$，则$${{m}}$$的值（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
5、['分步乘法计数原理'， '排列数及排列数公式'， '排列组合中的特殊元素优先考虑']正确率60.0%$${{5}}$$人站成一排，甲乙两人必须站在一起的不同站法有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}}$$种
B.$${{2}{4}}$$种
C.$${{4}{8}}$$种
D.$${{6}{0}}$$种
6、['排列数及排列数公式']正确率60.0%若$${{q}{<}{{1}{9}}}$$，则将$$( x-q ) ( x-q-1 ) ( x-q-2 ) \cdot\ldots\cdot( x-1 9 )$$写成$${{A}^{m}_{n}}$$的形式是$${{(}{)}}$$
D
A.$$A_{x-q}^{x-1 9}$$
B.$$A_{x-q}^{x-2 0}$$
C.$$A_{x-q}^{1 9-q}$$
D.$$A_{x-q}^{2 0-q}$$
7、['一元二次不等式的解法'， '排列数及排列数公式']正确率60.0%不等式$$A_{8}^{x} < 6 \times A_{8}^{x-2}$$的解集为 （）
D
A.$$[ 2， 8 ]$$
B.$$[ 2， 6 ]$$
C.$$( 7， 1 2 )$$
D.$${{\{}{8}{\}}}$$
8、['排列数及排列数公式']正确率60.0%$$A_{6}^{2}=\kappa$$）
A
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{2}{4}}$$
C.$${{2}{0}}$$
D.$${{1}{5}}$$
9、['排列数及排列数公式']正确率60.0%若$$\mathrm{A}_{m}^{5}=2 \mathrm{A}_{m}^{3}，$$则$${{m}}$$的值为（）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
10、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']正确率80.0%计算$$C_{7}^{4}+C_{7}^{5}+2 A_{5}^{2}$$的值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{7}{6}}$$
B.$${{9}{6}}$$
C.$${{3}{5}{6}}$$
D.$${{3}{7}{6}}$$
以下是各题的详细解析： --- ### 1. 化简 $$A_{m}^{m} + A_{m+1}^{m} + A_{m+2}^{m} + \ldots + A_{2m}^{m}$$ **解析：** 排列数 $$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$$，因此： $$ A_{m}^{m} = m! \\ A_{m+1}^{m} = (m+1) \cdot m! \\ A_{m+2}^{m} = (m+2)(m+1) \cdot m! \\ \vdots \\ A_{2m}^{m} = (2m)(2m-1)\cdots(m+1) \cdot m! $$ 将每一项提取公因式 $$m!$$： $$ m! \left[1 + (m+1) + (m+2)(m+1) + \cdots + (2m)(2m-1)\cdots(m+1)\right] $$ 注意到 $$A_{n}^{m} = n \cdot A_{n-1}^{m-1}$$，可以推导出： $$ A_{m}^{m} + A_{m+1}^{m} + \cdots + A_{2m}^{m} = A_{2m+1}^{m+1} / (m+1)! $$ 进一步化简为： $$ A_{2m+1}^{m} $$ **答案：** $$B. A_{2m+1}^{m}$$ --- ### 2. 解方程 $$A_{2n}^{3} = 7 C_{n}^{n-1} A_{n}^{2}$$ **解析：** 将排列和组合公式代入： $$ A_{2n}^{3} = 2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \\ C_{n}^{n-1} = n \\ A_{n}^{2} = n \cdot (n-1) $$ 代入方程： $$ 2n(2n-1)(2n-2) = 7 \cdot n \cdot n(n-1) $$ 化简： $$ 2(2n-1)(2n-2) = 7n(n-1) \\ 2(4n^2 - 6n + 2) = 7n^2 - 7n \\ 8n^2 - 12n + 4 = 7n^2 - 7n \\ n^2 - 5n + 4 = 0 \\ (n-1)(n-4) = 0 $$ 解得 $$n=1$$（舍去，因为 $$A_{2n}^{3}$$ 要求 $$2n \geq 3$$）或 $$n=4$$。 **答案：** $$A. 4$$ --- ### 3. 求和 $$C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + \cdots + C_{19}^{3} = C_{20}^{m}$$，并求 $$m+n$$ **解析：** 利用组合恒等式： $$ C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + \cdots + C_{19}^{3} = C_{20}^{4} $$ 因此 $$m=4$$。 另一方程为 $$A_{2n}^{2} = A_{3}^{2} \cdot A_{n}^{2}$$： $$ 2n(2n-1) = 6 \cdot n(n-1) \\ 4n^2 - 2n = 6n^2 - 6n \\ 2n^2 - 4n = 0 \\ n(n-2) = 0 $$ 解得 $$n=0$$（舍去）或 $$n=2$$。 因此 $$m+n=6$$。 **答案：** $$A. 6$$ --- ### 4. 解方程 $$A_{m}^{3} = 6 C_{m}^{4}$$ **解析：** 将排列和组合公式代入： $$ A_{m}^{3} = m(m-1)(m-2) \\ C_{m}^{4} = \frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{24} $$ 代入方程： $$ m(m-1)(m-2) = 6 \cdot \frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{24} \\ 1 = \frac{m-3}{4} \\ m-3 = 4 \\ m = 7 $$ **答案：** $$B. 7$$ --- ### 5. 5 人站成一排，甲乙必须站在一起的不同站法 **解析：** 将甲乙视为一个整体，有 4 个“单位”排列，甲乙内部有 2 种排列方式： $$ 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48 $$ **答案：** $$C. 48$$ 种 --- ### 6. 将 $$(x-q)(x-q-1)\cdots(x-19)$$ 表示为 $$A_{n}^{m}$$ **解析：** 共有 $$(19 - q + 1) = 20 - q$$ 个连续递减因子，因此： $$ A_{x-q}^{20-q} $$ **答案：** $$D. A_{x-q}^{20-q}$$ --- ### 7. 解不等式 $$A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x-2}$$ **解析：** 将排列数展开： $$ \frac{8!}{(8-x)!} < 6 \cdot \frac{8!}{(10-x)!} \\ \frac{1}{(8-x)!} < \frac{6}{(10-x)!} \\ (10-x)(9-x) < 6 \\ x^2 - 19x + 84 < 0 \\ (x-7)(x-12) < 0 $$ 解得 $$7 < x < 12$$，且 $$x \leq 8$$（因为 $$A_{8}^{x}$$ 要求 $$x \leq 8$$），因此 $$x=8$$。 **答案：** $$D. \{8\}$$ --- ### 8. 计算 $$A_{6}^{2}$$ **解析：** $$ A_{6}^{2} = 6 \times 5 = 30 $$ **答案：** $$A. 30$$ --- ### 9. 解方程 $$A_{m}^{5} = 2 A_{m}^{3}$$ **解析：** 将排列数展开： $$ \frac{m!}{(m-5)!} = 2 \cdot \frac{m!}{(m-3)!} \\ \frac{1}{(m-5)!} = \frac{2}{(m-3)(m-4)(m-5)!} \\ 1 = \frac{2}{(m-3)(m-4)} \\ (m-3)(m-4) = 2 \\ m^2 - 7m + 10 = 0 \\ (m-2)(m-5) = 0 $$ 解得 $$m=2$$（舍去，因为 $$A_{m}^{5}$$ 要求 $$m \geq 5$$）或 $$m=5$$。 **答案：** $$A. 5$$ --- ### 10. 计算 $$C_{7}^{4} + C_{7}^{5} + 2 A_{5}^{2}$$ **解析：** 利用组合性质 $$C_{7}^{4} = C_{7}^{3} = 35$$，$$C_{7}^{5} = C_{7}^{2} = 21$$，$$A_{5}^{2} = 20$$： $$ 35 + 21 + 2 \times 20 = 35 + 21 + 40 = 96 $$ **答案：** $$B. 96$$ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱