排列数及排列数公式-6.2 排列与组合知识点课后基础单选题自测题答案-上海市等高三数学选择必修,平均正确率62.0%

1、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']

正确率60.0%若$${{A}^{4}_{n}{=}{{C}^{2}_{n}}{⋅}{{A}^{3}_{4}}{，}}$$则正整数$${{n}{=}}$$（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

2、['排列数及排列数公式']

正确率60.0%设$${{m}{=}{1}{！}{+}{2}{！}{+}{3}{！}{+}{4}{！}{+}{…}{+}{{2}{0}{2}{2}}{！}{+}{{2}{0}{2}{3}}{！}}$$，则$${{m}}$$的末位数字为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{7}}$$

D.$${{8}}$$

3、['排列数及排列数公式']

正确率80.0%$$\frac{A_{9}^{9}} {A_{9}^{6}}=( \textsubscript{1} )$$

A.$${{6}}$$

B.$${{2}{4}}$$

C.$${{3}{6}{0}}$$

D.$${{7}{2}{0}}$$

4、['排列数及排列数公式']

正确率80.0%我们把各位数字之和为$${{6}}$$的四位数称为“六合数”(如$${{1}{2}{3}{0}{，}{{2}{0}{2}{2}}{)}{，}}$$则首位为$${{3}}$$的“六合数”共有（）

A.$${{1}{8}}$$个

B.$${{1}{2}}$$个

C.$${{1}{0}}$$个

D.$${{7}}$$个

5、['排列数及排列数公式'， '排列组合中的分组分配']

正确率19.999999999999996%设三位数$${{n}{=}{{1}{0}{0}}{a}{+}{{1}{0}}{b}{+}{c}}$$，若以$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{\{}{1}{，}{2}{，}{3}{，}{4}{\}}}$$为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数$${{n}}$$有（）

A.$${{1}{2}}$$种

B.$${{2}{4}}$$种

C.$${{2}{8}}$$种

D.$${{3}{6}}$$种

6、['古典概型的概率计算公式'， '排列数及排列数公式']

正确率60.0%已知由数字$${{1}{、}{2}{、}{3}}$$组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['排列与组合的综合应用'， '组合的应用'， '排列数及排列数公式']

正确率60.0%小孔家有爷爷$${、}$$奶奶$${、}$$姥爷$${、}$$姥姥$${、}$$爸爸$${、}$$妈妈，包括他共$${{7}}$$人，一天爸爸从果园里摘了$${{7}}$$个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷$${、}$$奶奶$${、}$$姥爷$${、}$$姥姥$${{4}}$$位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）

A.$${{9}{6}}$$种

B.$${{1}{2}{0}}$$种

C.$${{4}{8}{0}}$$种

D.$${{7}{2}{0}}$$种

8、['组合数及其性质'， '排列数及排列数公式']

正确率60.0%若$${{C}^{2}_{n}{{A}^{2}_{2}}{=}{{4}{2}}}$$，则$$\frac{n!} {3! ( n-3 )!}=\langle($$）

A.$${{7}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{3}{5}}$$

D.$${{4}{0}}$$

9、['一元二次不等式的解法'， '排列数及排列数公式']

正确率60.0%不等式$$A_{8}^{x} < 6 \times A_{8}^{x-2}$$的解集为（）

A.$${{[}{2}{，}{8}{]}}$$

B.$${{[}{2}{，}{6}{]}}$$

C.$${{(}{7}{，}{{1}{2}}{)}}$$

D.$${{\{}{8}{\}}}$$

10、['排列数及排列数公式']

正确率80.0%甲、乙、丙、丁、戊$${{5}}$$名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次$${{(}}$$无并列名次$${{)}}$$，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五$${{.}}$$据此推测$${{5}}$$人的名次排列情况共有$${{(}{)}}$$种

A.$${{5}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{1}{4}}$$

D.$${{2}{1}}$$

1. 解析：题目给出排列组合方程 $$A_{n}^{4} = C_{n}^{2} \cdot A_{4}^{3}$$。

首先计算各项： $$A_{n}^{4} = n(n-1)(n-2)(n-3)$$ $$C_{n}^{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$ $$A_{4}^{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$$ 代入方程得： $$n(n-1)(n-2)(n-3) = \frac{n(n-1)}{2} \times 24$$ 简化得： $$(n-2)(n-3) = 12$$ 解得 $$n = 6$$ 或 $$n = -1$$（舍去），故答案为 $$C$$。

2. 解析：求 $$m = 1! + 2! + 3! + \cdots + 2023!$$ 的末位数字。

观察阶乘的末位数字： $$1! = 1$$ $$2! = 2$$ $$3! = 6$$ $$4! = 24$$ $$5! = 120$$ 从 $$5!$$ 开始，末位数字均为 $$0$$。因此，$$m$$ 的末位数字由 $$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$$ 决定，末位为 $$3$$，故答案为 $$A$$。

3. 解析：计算 $$\frac{A_{9}^{9}}{A_{9}^{6}}$$。

$$A_{9}^{9} = 9!$$ $$A_{9}^{6} = \frac{9!}{3!}$$ 因此： $$\frac{A_{9}^{9}}{A_{9}^{6}} = \frac{9!}{\frac{9!}{3!}} = 3! = 6$$ 故答案为 $$A$$。

4. 解析：求首位为 $$3$$ 且各位数字之和为 $$6$$ 的四位数个数。

设四位数为 $$3abc$$，则 $$a + b + c = 3$$，其中 $$a, b, c \geq 0$$。非负整数解的数量为 $$C_{3+3-1}^{3} = C_{5}^{3} = 10$$，但需排除 $$a \geq 10$$ 的情况（无解），故答案为 $$C$$。

5. 解析：求三位数 $$n = 100a + 10b + c$$，其中 $$a, b, c \in \{1, 2, 3, 4\}$$ 且能构成等腰或等边三角形。

等腰或等边三角形的条件为至少两边相等且满足三角形不等式。枚举所有可能： - 等边三角形：$$(1,1,1)$$, $$(2,2,2)$$, $$(3,3,3)$$, $$(4,4,4)$$，共 $$4 \times 1 = 4$$ 种。 - 等腰非等边三角形：如 $$(2,2,1)$$, $$(2,2,3)$$, $$(3,3,2)$$ 等，共 $$12$$ 种。 - 非等腰三角形：如 $$(2,3,4)$$ 等，共 $$12$$ 种。总计 $$4 + 12 + 12 = 28$$ 种，故答案为 $$C$$。

6. 解析：由 $$1, 2, 3$$ 组成无重复数字的三位数，求其为偶数的概率。

总排列数为 $$A_{3}^{3} = 6$$。偶数的条件为末位是 $$2$$，固定末位后前两位有 $$A_{2}^{2} = 2$$ 种排列。概率为 $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$，故答案为 $$C$$。

7. 解析：$$7$$ 个梨分给 $$7$$ 人，小孔拿最小的，四位老人之一拿最大的，求分法数。

小孔固定拿最小的，最大梨由 $$4$$ 位老人之一拿，有 $$4$$ 种选择。剩余 $$5$$ 个梨分给 $$5$$ 人，有 $$5! = 120$$ 种分法。总数为 $$4 \times 120 = 480$$，故答案为 $$C$$。

8. 解析：已知 $$C_{n}^{2} \cdot A_{2}^{2} = 42$$，求 $$\frac{n!}{3!(n-3)!}$$。

$$A_{2}^{2} = 2$$，故 $$C_{n}^{2} = 21$$，解得 $$n = 7$$。 $$\frac{7!}{3!4!} = C_{7}^{3} = 35$$，故答案为 $$C$$。

9. 解析：解不等式 $$A_{8}^{x} < 6 \times A_{8}^{x-2}$$。

$$A_{8}^{x} = \frac{8!}{(8-x)!}$$，不等式化为： $$\frac{8!}{(8-x)!} < 6 \times \frac{8!}{(10-x)!}$$ 简化得： $$(10-x)(9-x) < 6$$ 解得 $$x > 7$$ 或 $$x < 3$$，但 $$x \leq 8$$ 且 $$x \geq 2$$，故解集为 $$\{8\}$$，答案为 $$D$$。

10. 解析：$$5$$ 人排名，甲第三，乙不是第一，丙不是第五，求排列数。

固定甲第三，剩余四人排列有 $$4! = 24$$ 种。排除不满足条件的情况： - 乙第一且丙第五：$$2! = 2$$ 种。 - 乙第一但丙非第五：$$2 \times 2 = 4$$ 种。 - 丙第五但乙非第一：$$2 \times 2 = 4$$ 种。总不满足数为 $$2 + 4 + 4 = 10$$，故满足条件的排列数为 $$24 - 10 = 14$$，答案为 $$C$$。

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