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正确率40.0%已知四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$，$$A B=B D=D A=2$$，$$B C=C D=\sqrt{2}$$，现将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿$${{B}{D}}$$折起，设二面角$$A-B D-C$$的平面角$$\theta\in[ \frac{\pi} {6}， \frac{5 \pi} {6} ]$$，则直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{D}}$$所成角的余弦值取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[-\frac{5 \sqrt{2}} {8}， \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt{2}} {8}， \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$
C.$$[ 0， \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$
D.$$[ 0， \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$
7、['用空间向量研究距离、夹角问题'， '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']正确率40.0%已知$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$，$${{D}}$$是体积为$$\frac{2 0 \sqrt{5}} {3} \pi$$的球体表面上四点，若$${{A}{B}{=}{4}}$$，$${{A}{C}{=}{2}}$$，$$B C=2 \sqrt{3}$$，且三棱锥$$A-B C D$$的体积为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，则线段$${{C}{D}}$$长度的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
8、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率40.0%长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=B C=4$$，$${{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，则二面角$$A_{1}-B D-C_{1}$$的余弦值为$${{(}{)}}$$
A.$$- \frac{7} {9}$$
B.$$- \frac{\sqrt6} {9}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {9}$$
9、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率40.0%已知圆锥的顶点为$${{P}}$$，底面圆心为$${{O}}$$，$${{P}{O}{=}{1}}$$，底面半径为$${{2}}$$，$${{M}}$$，$${{N}}$$是底面圆周上两点，且$$\angle M O N=\frac{\pi} {3}$$，则二面角$$P-M N-O$$的大小为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {1 2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
以下是各题的详细解析：
第2题解析：
1. 首先分析四边形$$ABCD$$的初始状态：
- $$△ABD$$是边长为2的等边三角形，$$BD=2$$。
- $$BC=CD=\sqrt{2}$$，因此$$△BCD$$是等腰直角三角形，$$∠BCD=90°$$。
2. 将$$△ABD$$沿$$BD$$折起后，二面角$$A-BD-C$$的平面角为$$θ$$，范围是$$[\frac{π}{6}, \frac{5π}{6}]$$。
3. 建立坐标系，设$$BD$$沿x轴放置，$$B$$在原点，$$D$$在$$(2,0,0)$$。
- 点$$A$$在折起前为$$(1, \sqrt{3}, 0)$$，折起后为$$(1, \sqrt{3}\cosθ, \sqrt{3}\sinθ)$$。
- 点$$C$$固定为$$(1, -1, 0)$$。
4. 向量$$AB=(-1, \sqrt{3}\cosθ, \sqrt{3}\sinθ)$$，向量$$CD=(-1, 1, 0)$$。
5. 计算两向量的夹角余弦：
$$ \cosφ = \frac{AB \cdot CD}{|AB| \cdot |CD|} = \frac{1 + \sqrt{3}\cosθ}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}\cosθ}{2\sqrt{2}} $$
6. 当$$θ$$从$$\frac{π}{6}$$到$$\frac{5π}{6}$$变化时，$$\cosθ$$从$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$到$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$，因此$$\cosφ$$的范围是$$[\frac{\sqrt{2}}{8}, \frac{5\sqrt{2}}{8}]$$。
7. 正确答案是B。
第7题解析：
1. 首先计算球的半径：
- 球的体积公式为$$\frac{4}{3}πR^3 = \frac{20\sqrt{5}}{3}π$$，解得$$R=\sqrt{5}$$。
2. 分析$$△ABC$$：
- 边长$$AB=4$$，$$AC=2$$，$$BC=2\sqrt{3}$$，满足勾股定理，$$∠ACB=90°$$。
3. 三棱锥$$A-BCD$$的体积为$$2\sqrt{3}$$，因此$$h = \frac{3V}{S_{△ABC}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$$。
4. 点$$D$$到平面$$ABC$$的距离为3，因此$$D$$在平行于$$ABC$$的平面上，距离为3。
5. 由于$$D$$在球面上，$$CD$$的最大值为$$\sqrt{R^2 - (R - h)^2 + BC^2} = \sqrt{5 - ( \sqrt{5} - 3 )^2 + (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{5}$$。
6. 正确答案是D。
第8题解析：
1. 建立坐标系，设长方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$，$$C(4,4,0)$$，$$D(0,4,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$C_1(4,4,1)$$。
2. 计算平面$$A_1BD$$的法向量：
- 向量$$A_1B=(4,0,-1)$$，$$A_1D=(0,4,-1)$$，法向量为$$(1,1,4)$$。
3. 计算平面$$C_1BD$$的法向量：
- 向量$$C_1B=(0,-4,-1)$$，$$C_1D=(-4,0,-1)$$，法向量为$$(-1,-1,4)$$。
4. 计算二面角的余弦：
$$ \cosθ = \frac{(1,1,4) \cdot (-1,-1,4)}{|(1,1,4)| \cdot |(-1,-1,4)|} = \frac{-1 -1 +16}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} $$
5. 由于二面角的定义，实际余弦值为$$-\frac{7}{9}$$。
6. 正确答案是A。
第9题解析：
1. 圆锥底面半径为2，高$$PO=1$$。
2. 设点$$M$$和$$N$$在底面圆周上，且$$∠MON=\frac{π}{3}$$。
3. 建立坐标系，设$$M(2,0,0)$$，$$N(1, \sqrt{3}, 0)$$，顶点$$P(0,0,1)$$。
4. 计算平面$$PMN$$的法向量：
- 向量$$PM=(2,0,-1)$$，$$PN=(1, \sqrt{3}, -1)$$，法向量为$$(\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3})$$。
5. 平面$$OMN$$的法向量为$$(0,0,1)$$。
6. 计算二面角的余弦：
$$ \cosθ = \frac{(\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3}) \cdot (0,0,1)}{|\sqrt{3}, 1, 2\sqrt{3}| \cdot 1} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
7. 因此二面角的大小为$$\frac{π}{6}$$。
8. 正确答案是B。