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正确率80.0%已知某圆锥的母线长为$${{2}}$$，记其侧面积为$${{S}}$$，体积为$${{V}}$$，则当$$\frac{V} {S}$$取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
6、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率80.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}}$$，$${{F}}$$分别是$${{B}{C}}$$，$${{C}{D}}$$的中点，则直线$${{B}{D}}$$到平面$${{E}{F}{{D}_{1}}{{B}_{1}}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
10、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率40.0%棱长为$${{2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{N}}$$为$${{C}{{C}_{1}}}$$中点，$${{P}}$$在底面$${{A}{B}{C}{D}}$$内运动，$${{D}_{1}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角为$${{θ}_{1}}$$，$${{N}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角为$${{θ}_{2}}$$，若$${{θ}_{1}{=}{{θ}_{2}}}$$，则$${{|}{A}{P}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{1}}$$
第4题解析：
设圆锥的底面半径为$$r$$，高为$$h$$，母线长为$$l=2$$。根据圆锥的几何关系，有$$l^2 = r^2 + h^2$$，即$$4 = r^2 + h^2$$。
侧面积$$S = \pi r l = 2\pi r$$。
体积$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$。
需要最大化$$\frac{V}{S} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{2\pi r} = \frac{r h}{6}$$。
由$$r^2 + h^2 = 4$$，代入$$h = \sqrt{4 - r^2}$$，得到$$\frac{V}{S} = \frac{r \sqrt{4 - r^2}}{6}$$。
设函数$$f(r) = r \sqrt{4 - r^2}$$，求导得$$f'(r) = \sqrt{4 - r^2} - \frac{r^2}{\sqrt{4 - r^2}}$$。
令导数为零，解得$$r = \sqrt{2}$$，此时$$h = \sqrt{2}$$。
母线与底面所成角的正弦值为$$\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
因此，正确答案为$$\boxed{A}$$。
第6题解析：
建立坐标系，设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(1,1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。
点$$E$$为$$BC$$中点，坐标为$$(1, 0.5, 0)$$；点$$F$$为$$CD$$中点，坐标为$$(0.5, 1, 0)$$。
平面$$EFD_1B_1$$的法向量可以通过向量$$\overrightarrow{EF} = (-0.5, 0.5, 0)$$和$$\overrightarrow{EB_1} = (0, -0.5, 1)$$的叉积求得，结果为$$(0.5, 0.5, 0.25)$$。
直线$$BD$$的方向向量为$$(-1, 1, 0)$$，点$$B(1,0,0)$$在直线上。
计算直线到平面的距离公式为$$d = \frac{|\overrightarrow{BB_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$，其中$$\overrightarrow{BB_1} = (0,0,1)$$，$$\vec{n} = (0.5, 0.5, 0.25)$$。
代入得$$d = \frac{0.25}{\sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0.25^2}} = \frac{0.25}{\sqrt{0.25 + 0.25 + 0.0625}} = \frac{0.25}{\sqrt{0.5625}} = \frac{0.25}{0.75} = \frac{1}{3}$$。
因此，正确答案为$$\boxed{D}$$。
第10题解析：
设正方体顶点为$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。
点$$N$$为$$CC_1$$中点，坐标为$$(2,2,1)$$。
点$$P$$在底面$$ABCD$$内，设其坐标为$$(x,y,0)$$，其中$$0 \leq x \leq 2$$，$$0 \leq y \leq 2$$。
$$D_1P$$与底面所成角的正切为$$\tan \theta_1 = \frac{2}{\sqrt{x^2 + (y-2)^2}}$$。
$$NP$$与底面所成角的正切为$$\tan \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2 + (y-2)^2}}$$。
由$$\theta_1 = \theta_2$$，得$$\frac{2}{\sqrt{x^2 + (y-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2 + (y-2)^2}}$$。
平方后化简得$$4[(x-2)^2 + (y-2)^2] = x^2 + (y-2)^2$$，即$$4(x-2)^2 + 4(y-2)^2 = x^2 + (y-2)^2$$。
进一步化简得$$3(y-2)^2 = x^2 - 4(x-2)^2$$，展开整理得$$3(y-2)^2 = -3x^2 + 16x - 16$$。
配方得$$(x - \frac{8}{3})^2 + (y-2)^2 = \frac{16}{9}$$，表示$$P$$在以$$(\frac{8}{3}, 2)$$为圆心，半径为$$\frac{4}{3}$$的圆上。
$$AP$$的最小值为圆心到$$A(0,0)$$的距离减去半径，即$$\sqrt{(\frac{8}{3})^2 + 2^2} - \frac{4}{3} = \sqrt{\frac{64}{9} + 4} - \frac{4}{3} = \sqrt{\frac{100}{9}} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} - \frac{4}{3} = 2$$。
因此，正确答案为$$\boxed{A}$$。