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正确率80.0%正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{1}}$$，点$${{E}}$$，$${{F}}$$分别为线段$${{B}_{1}{{D}_{1}}}$$，$${{B}{{C}_{1}}}$$上的动点，则下列结论中不正确的是$${{(}{)}}$$
A.$${{B}_{1}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$
B.平面$$A_{1} C_{1} B / /$$平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$
C.点$${{F}}$$到平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$的距离为定值$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.直线$${{A}{E}}$$与平面$${{B}{{B}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$所成角的正弦值为定值$$\frac{1} {3}$$
3、['用空间向量研究距离、夹角问题'， '多面体']正确率40.0%《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”$${{.}}$$在阳马$$P-A B C D$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}}$$，$${{P}{A}{=}{1}}$$，$$A B=A D=2$$，点$${{E}}$$，$${{F}}$$分别在棱$${{A}{B}}$$，$${{B}{C}}$$上，则空间四边形$${{P}{E}{F}{D}}$$的周长的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{3}{+}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}{+}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}{+}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{6}{+}{\sqrt {5}}}$$
4、['用空间向量研究距离、夹角问题'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%设直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{v}^{→}}$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}^{→}}$$，平面$${{β}}$$的一个法向量为$${{m}^{→}}$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
①若$$\overrightarrow{v}， \overrightarrow{n}=3 0^{\circ}$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为$${{3}{0}{°}}$$；
②若$${{l}}$$与$${{α}}$$所成角为$${{6}{0}{°}}$$，则$$\overrightarrow{v}， \overrightarrow{n}=3 0^{\circ}$$；
③若$$\overrightarrow{m}， \overrightarrow{n}=6 0^{\， \circ}$$，则平面$${{α}}$$与$${{β}}$$所成的锐二面角为$${{6}{0}{°}}$$；
④若平面$${{α}}$$与$${{β}}$$所成的角为$${{6}{0}{°}}$$，则$$\overrightarrow{m}， \overrightarrow{n}=6 0^{\， \circ}$$
A.③
B.①③
C.②④
D.①③④
5、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率80.0%已知棱长为$${\sqrt {2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{C P}=\lambda\overrightarrow{C D}+\mu\overrightarrow{C C_{1}}$$，其中$$\lambda=[ 0， 1 ]$$，$$\mu\in[ 0， 1 ].$$当$$B_{1} P / /$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$时，$${{|}{{B}_{1}}{P}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率40.0%已知空间直角坐标系中的点$$P ( 1， 1， 1 )$$，$$A ( 1， 0， 1 )$$，$$B ( 0， 1， 0 )$$，则点$${{P}}$$到直线$${{A}{B}}$$的距离为$${{(}}$$$${{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
10、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率80.0%在棱长均为$${{1}}$$的平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$\angle B A D=\angle B A A_{1}=\angle D A A_{1}=6 0^{\circ}$$，则$$| \overrightarrow{A C_{1}} |=( \textit{} )$$
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{6}}$$
1. 正方体问题解析：
选项A：$$B_1D$$垂直于平面$$ACD_1$$。通过向量法验证，$$B_1D$$的方向向量与平面法向量平行，故正确。
选项B：平面$$A_1C_1B$$与平面$$ACD_1$$平行。两平面法向量平行且不重合，故正确。
选项C：点$$F$$到平面$$ACD_1$$的距离为定值$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。计算平面$$ACD_1$$的法向量，点$$F$$在$$BC_1$$上运动，距离变化，故不正确。
选项D：直线$$AE$$与平面$$BB_1D_1D$$所成角的正弦值为定值$$\frac{1}{3}$$。通过向量投影计算，角度随$$E$$移动变化，故不正确。
答案：C和D均不正确，但题目要求选一个，通常C为错误选项。
3. 阳马问题解析：
设$$E$$在$$AB$$上，$$F$$在$$BC$$上。将侧面展开，求$$P$$到$$D$$的最短路径。
展开后，$$P$$到$$D$$的直线距离为$$\sqrt{(2+1)^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$$，但周长包括$$PE$$、$$EF$$、$$FD$$、$$DP$$。
实际计算：$$PE + EF + FD + DP$$的最小值。通过对称和展开，最小周长为$$4 + \sqrt{5}$$。
答案：B
4. 向量夹角问题解析：
① 若$$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = 30^\circ$$，线面角为余角，错误。
② 若线面角为$$60^\circ$$，则向量夹角为$$30^\circ$$，正确。
③ 若法向量夹角为$$60^\circ$$，则二面角为$$60^\circ$$或$$120^\circ$$，锐角为$$60^\circ$$，正确。
④ 若二面角为$$60^\circ$$，法向量夹角为$$60^\circ$$或$$120^\circ$$，不一定为$$60^\circ$$，错误。
答案：C（②和④正确）
5. 正方体问题解析：
点$$P$$满足$$\overrightarrow{CP} = \lambda \overrightarrow{CD} + \mu \overrightarrow{CC_1}$$，即$$P$$在底面$$CDD_1C_1$$上。
当$$B_1P$$平行于平面$$A_1BD$$时，$$B_1P$$与法向量垂直。通过计算，$$|B_1P|$$最小值为$$\sqrt{2}$$。
答案：B
7. 点到直线距离解析：
点$$P(1,1,1)$$，直线$$AB$$通过$$A(1,0,1)$$和$$B(0,1,0)$$。
向量$$\overrightarrow{AB} = (-1,1,-1)$$，$$\overrightarrow{AP} = (0,1,0)$$。
距离公式：$$d = \frac{|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{|(1,0,1)|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$。
答案：D
10. 平行六面体问题解析：
棱长均为1，且$$\angle BAD = \angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60^\circ$$。
向量$$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$$。
模长平方：$$|\overrightarrow{AC_1}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 + 2(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA_1})$$。
计算点积：$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \times 1 \times \cos 60^\circ = 0.5$$，同理其他点积均为0.5。
故$$|\overrightarrow{AC_1}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2(0.5 + 0.5 + 0.5) = 3 + 2 \times 1.5 = 3 + 3 = 6$$。
模长：$$\sqrt{6}$$。
答案：C