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正确率80.0%已知$${{A}{(}{1}{，}{2}{，}{1}{)}}$$是平面$${{α}}$$内一点$${，{n}{=}{(}{−}{1}{，}{−}{1}{，}{1}{)}}$$是平面$${{α}}$$的一个法向量，若点$${{P}{(}{2}{，}{0}{，}{3}{)}}$$是平面$${{α}}$$外一点，则点$${{P}}$$到平面$${{α}}$$的距离为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
4、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{−}{2}{，}{−}{2}{，}{1}{)}{，}}$$点$${{A}{(}{x}{，}{3}{，}{0}{)}}$$在平面$${{α}}$$内，点$${{P}{(}{−}{2}{，}{1}{，}{4}{)}}$$到平面$${{α}}$$的距离$$d=\frac{1 0} {3}，$$则$${{x}{=}}$$（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{{1}{1}}}$$
C.$${{−}{1}}$$或$${{−}{{1}{1}}}$$
D.$${{−}{{2}{1}}}$$
5、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%在空间直角坐标系$${{O}{x}{y}{z}}$$中，平面$${{O}{A}{B}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{2}{，}{−}{2}{，}{1}{)}{，}}$$若$${{P}{(}{−}{1}{，}{−}{3}{，}{8}{)}{，}}$$则$${{P}}$$到平面$${{O}{A}{B}}$$的距离等于（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{1}}$$
6、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\overrightarrow{A B}=( 4，-2， 3 )$$，$$\overrightarrow{A D}=(-4， 1， 0 )$$，$$\overrightarrow{A P}=(-3， 1，-4 )$$，则这个四棱锥的高$${{h}}$$为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%在棱长为$${{a}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${{，}{M}}$$是$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则点$${{A}_{1}}$$到平面$${{B}{D}{M}}$$的距离是（）
A
A.$${\frac{\sqrt{6}} {6}} a$$
B.$$\frac{\sqrt{3 0}} {6} a$$
C.$$\frac{\sqrt3} 4 a$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3} a$$
2. 解析：
点到平面的距离公式为：$$d = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$，其中 $$A$$ 是平面内一点，$$\vec{n}$$ 是法向量，$$P$$ 是平面外一点。
计算向量 $$\overrightarrow{AP} = (2-1, 0-2, 3-1) = (1, -2, 2)$$。
点积 $$\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} = 1 \times (-1) + (-2) \times (-1) + 2 \times 1 = -1 + 2 + 2 = 3$$。
法向量的模 $$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$。
距离 $$d = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
4. 解析：
点 $$A$$ 在平面内，满足平面方程 $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} = \vec{n} \cdot \overrightarrow{OP_0}$$（$$P_0$$ 是平面上任一点）。
由点 $$P$$ 到平面的距离公式：$$d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|}$$，其中 $$\overrightarrow{AP} = (-2 - x, 1 - 3, 4 - 0) = (-2 - x, -2, 4)$$。
计算点积：$$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = (-2)(-2 - x) + (-2)(-2) + 1 \times 4 = 4 + 2x + 4 + 4 = 2x + 12$$。
法向量的模 $$|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$$。
距离公式代入：$$\frac{|2x + 12|}{3} = \frac{10}{3}$$，解得 $$|2x + 12| = 10$$。
解得 $$x = -1$$ 或 $$x = -11$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 解析：
平面 $$OAB$$ 过原点，距离公式简化为：$$d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{OP}|}{|\vec{n}|}$$。
计算点积：$$\vec{n} \cdot \overrightarrow{OP} = 2 \times (-1) + (-2) \times (-3) + 1 \times 8 = -2 + 6 + 8 = 12$$。
法向量的模 $$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$$。
距离 $$d = \frac{12}{3} = 4$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
6. 解析：
四棱锥的高即点 $$P$$ 到底面 $$ABCD$$ 的距离。先求底面的法向量 $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$$。
计算叉积：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -2 & 3 \\ -4 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-3, -12, -4)$$。
取 $$\vec{n} = (3, 12, 4)$$（符号不影响距离）。
点 $$A$$ 为起点，向量 $$\overrightarrow{AP} = (-3, 1, -4)$$。
点积 $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 3 \times (-3) + 12 \times 1 + 4 \times (-4) = -9 + 12 - 16 = -13$$。
法向量的模 $$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = 13$$。
距离 $$h = \frac{13}{13} = 1$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
8. 解析：
建立坐标系，设 $$A_1 = (a, 0, a)$$，$$M = (a, 0, \frac{a}{2})$$，$$B = (a, a, 0)$$，$$D = (0, 0, 0)$$。
求平面 $$BDM$$ 的法向量：$$\overrightarrow{BD} = (-a, -a, 0)$$，$$\overrightarrow{BM} = (0, -a, \frac{a}{2})$$。
叉积 $$\overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BM} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & -a & 0 \\ 0 & -a & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = (-\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, a^2)$$，取 $$\vec{n} = (-1, 1, 2)$$。
点 $$A_1$$ 到平面的距离公式：$$d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA_1}|}{|\vec{n}|}$$，其中 $$\overrightarrow{BA_1} = (0, -a, a)$$。
点积 $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA_1} = -1 \times 0 + 1 \times (-a) + 2 \times a = a$$。
法向量的模 $$|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$$。
距离 $$d = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}a$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。