用空间向量研究两个平面所成的角-空间向量的应用知识点回顾进阶自测题答案-广东省等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

正确率60.0%已知两平面的法向量分别为$${{m}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}{，}{n}{=}{(}{0}{，}{1}{，}{1}{)}{，}}$$则两平面的夹角为（）

C

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$

C.$${{4}{5}^{∘}}$$

D.$${{9}{0}^{∘}}$$

正确率60.0%在四棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}{D}}$$中$${，{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{D}{，}}$$四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是矩形，且$$A B=3， \， \， \， A D=4， \， \， \， P A=\frac{4 \sqrt{3}} {5}，$$则平面$${{A}{B}{C}{D}}$$与平面$${{P}{B}{D}}$$所成角的大小为（）

A

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$

D.$${{7}{5}^{∘}}$$

正确率19.999999999999996%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{A}{B}{=}{\sqrt {3}}{，}{A}{D}{=}{A}{{A}_{1}}{=}{1}{，}{P}}$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）

A

A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$

C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$${{A}_{1}{−}{A}{{D}_{1}}{−}{P}}$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$

正确率60.0%已知$${{c}{o}{s}{⟨}{a}{，}{b}{⟩}}$$​$$=-\frac{1} {4}，$$则下列说法错误的是（）

B

A.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量，则直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$

B.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$

C.若$${{a}{，}{b}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$

D.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的正弦值是$$\frac{1} {4}$$

正确率40.0%已知$${{P}{A}{，}{P}{B}{，}{P}{C}}$$两两的夹角都是$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则二面角$${{A}{−}{P}{B}{−}{C}}$$的余弦值为（）

A

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

正确率40.0%已知在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{M}}$$为棱$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则平面$${{D}_{1}{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{M}{B}{C}}$$所成锐二面角的余弦值为（）

D

A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{2 1 0}} {1 5}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

正确率40.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$与平面$${{C}_{1}{B}{D}}$$所成二面角的余弦值为（）

C

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

正确率60.0%已知斜三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中，底面$${{A}{B}{C}}$$是等腰直角三角形，$${{A}{B}{=}{A}{C}{=}{2}}$$，$${{C}{{C}_{1}}{=}{2}}$$，$${{A}{{A}_{1}}}$$与$${{A}{B}}$$，$${{A}{C}}$$都成$${{6}{0}^{∘}}$$角，则异面直线$${{A}{{B}_{1}}}$$与$${{B}{{C}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）

D

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

1. 两平面的夹角等于其法向量的夹角。已知法向量 $$m=(0,1,0)$$ 和 $$n=(0,1,1)$$，计算它们的点积和模长：

夹角的余弦值为：

因此 $$\theta = 45^\circ$$，答案为 C。

2. 建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(3,0,0)$$，$$D(0,4,0)$$，$$P(0,0,\frac{4\sqrt{3}}{5})$$。平面 $$ABCD$$ 的法向量为 $$n_1 = (0,0,1)$$。平面 $$PBD$$ 的法向量 $$n_2$$ 可通过向量 $$\overrightarrow{BD} = (-3,4,0)$$ 和 $$\overrightarrow{BP} = (-3,0,\frac{4\sqrt{3}}{5})$$ 的叉积得到：

简化 $$n_2$$ 为 $$(4\sqrt{3}, 3\sqrt{3}, 15)$$。计算两法向量的夹角余弦：

因此 $$\theta = 30^\circ$$，答案为 A。

3. 选项 D 错误。当 $$\overrightarrow{A_1 C} \cdot \overrightarrow{D_1 P} = 0$$ 时，$$\overrightarrow{A_1 C}$$ 与 $$\overrightarrow{D_1 P}$$ 垂直，但 $$\overrightarrow{A_1 C} = 5 \overrightarrow{A_1 P}$$ 不一定成立。其他选项 A、B、C 的结论均正确。

4. 选项 B 错误。若 $$a$$ 是直线方向向量，$$b$$ 是平面法向量，则直线与平面夹角的正弦值为 $$|\cos \langle a, b \rangle| = \frac{1}{4}$$，而非余弦值。

6. 设 $$PA = PB = PC = 1$$，则二面角 $$A-PB-C$$ 的余弦值可通过向量法计算。取 $$PB$$ 中点 $$M$$，向量 $$\overrightarrow{MA}$$ 和 $$\overrightarrow{MC}$$ 的夹角即为二面角。计算得余弦值为 $$\frac{1}{3}$$，答案为 A。

7. 建立坐标系，设正方体边长为 2，计算两平面法向量的夹角余弦为 $$\frac{\sqrt{15}}{5}$$，答案为 A。

8. 平面 $$A_1 BD$$ 与平面 $$C_1 BD$$ 的法向量夹角余弦为 $$\frac{1}{3}$$，答案为 C。

10. 建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(0,2,0)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(0,2,2)$$。计算向量 $$\overrightarrow{AB_1} = (2,0,2)$$ 和 $$\overrightarrow{BC_1} = (-2,2,2)$$ 的夹角余弦为 $$\frac{1}{4}$$，答案为 A。