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正确率60.0%平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=(-2， ~-2， ~ 1 )，$$点$$A (-1， ~ 3， ~ 0 )$$在平面$${{α}}$$内，则点$$P (-2， ~ 1， ~ 4 )$$到平面$${{α}}$$的距离为（）
A
A.$$\frac{1 0} {3}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$$\frac{7} {3}$$
2、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率80.0%已知$$A ( 1， ~ 2， ~ 1 )$$是平面$${{α}}$$内一点$$， ~ ~ \boldsymbol{n}=(-1， ~-1， ~ 1 )$$是平面$${{α}}$$的一个法向量，若点$$P ( 2， ~ 0， ~ 3 )$$是平面$${{α}}$$外一点，则点$${{P}}$$到平面$${{α}}$$的距离为（）
C
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
3、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%在棱长为$${{a}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$是$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则点$${{A}}$$到平面$${{M}{B}{D}}$$的距离是（）
D
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3} a$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {6} a$$
C.$$\frac{\sqrt3} 4 a$$
D.$${\frac{\sqrt{6}} {6}} a$$
4、['点到平面的距离'， '用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
5、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%在棱长为$${{a}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${{，}{M}}$$是$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则点$${{A}_{1}}$$到平面$${{B}{D}{M}}$$的距离是（）
A
A.$${\frac{\sqrt{6}} {6}} a$$
B.$$\frac{\sqrt{3 0}} {6} a$$
C.$$\frac{\sqrt3} 4 a$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3} a$$
6、['用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%已知空间直角坐标系$$O-x y z$$中$$A ( 1， \ 0， \ 0 )， \ B ( 0， \ 1， \ 0 )， \ C ( 1， \ 1， \ 0 )，$$则点$$P ( m， ~ n， ~ 3 )$$到平面$${{A}{B}{C}}$$的距离是（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
7、['棱柱、棱锥、棱台的体积'， '用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，已知$$A ~ ( 2， ~ 0， ~ 0 ) ~， ~ B ~ ( 0， ~ 2， ~ 0 ) ~， ~ C ~ ( 0， ~ 0， ~ 2 ) ~， ~ D ~ ( 2， ~ 2， ~ 2 )$$，那么该四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的体积为（）
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{1 6} {3}$$
D.$$\frac{6 4} {3}$$
8、['二面角'， '用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，底面边长为$${{2}}$$，截面$${{A}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{D}}$$与底面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成二面角的正切值为$${{2}}$$，则$${{B}_{1}}$$点到平面$${{A}{{D}_{1}}{C}}$$的距离为（）
A
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
9、['空间向量的数量积'， '用空间向量研究点到平面的距离']正确率40.0%在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为$${{A}_{1}{D}}$$的中点，$${{F}}$$为$${{C}{{C}_{1}}}$$的三等分点(靠近$${{C}}$$点$${{)}}$$，则点$${{E}}$$到平面$${{B}{D}{F}}$$的距离为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{1 1}} {1 1}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 1}} {1 1}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
10、['空间直角坐标系中中点坐标公式'， '用空间向量研究点到平面的距离']正确率60.0%点$$A ( 3， 2， 1 )$$关于$${{x}{O}{y}}$$平面的对称点为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-3，-2，-1 )$$
B.$$(-3， 2， 1 )$$
C.$$( 3，-2， 1 )$$
D.$$( 3， 2，-1 )$$
1. 使用点到平面的距离公式：$$d = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\boldsymbol{n}|}$$，其中$$\overrightarrow{AP} = P - A = (-1, -2, 4)$$。计算点积：$$\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP} = (-2)(-1) + (-2)(-2) + (1)(4) = 10$$。法向量的模：$$|\boldsymbol{n}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$$。因此距离$$d = \frac{10}{3}$$，答案为$$A$$。
2. 类似地，$$\overrightarrow{AP} = (1, -2, 2)$$，点积$$\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AP} = (-1)(1) + (-1)(-2) + (1)(2) = 3$$。法向量的模$$|\boldsymbol{n}| = \sqrt{3}$$。距离$$d = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$，答案为$$C$$。
3. 建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，则$$M(0,0,\frac{a}{2})$$，$$B(a,0,0)$$，$$D(0,a,0)$$。平面MBD的法向量通过叉积$$\overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MD}$$求得为$$(1,1,2)$$。点A到平面的距离公式代入得$$d = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}a$$，答案为$$D$$。
4. 题目不完整，无法解析。
5. 类似第3题，但求$$A_1$$到平面BDM的距离。$$A_1(0,0,a)$$，法向量仍为$$(1,1,2)$$。距离公式得$$d = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}a$$，答案为$$A$$。
6. 平面ABC为$$z=0$$，点P的z坐标为3，故距离为3，答案为$$D$$。
7. 四面体体积公式：$$V = \frac{1}{6}|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})|$$。计算得行列式为8，体积为$$\frac{4}{3}$$，答案为$$A$$。
8. 通过几何关系求得$$B_1$$到平面$$AD_1C$$的距离为$$\frac{4\sqrt{2}}{3}$$，答案为$$C$$。
9. 建立坐标系，计算平面BDF的法向量，再求点E到平面的距离为$$\frac{\sqrt{11}}{11}$$，答案为$$B$$。
10. 关于$$xOy$$平面对称，z坐标取反，得$$(3,2,-1)$$，答案为$$D$$。