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正确率40.0%已知向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$分别是直线$${{l}}$$和平面$${{α}}$$的方向向量和法向量，若$$\operatorname{c o s} < \stackrel{\rightarrow} {m}， \; \; \stackrel{\rightarrow} {n} >=-\frac{1} {2}，$$< overrightarrow{m}， overrightarrow{n} >$$=-\frac{1} {2}$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
2、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%下列说法错误的是（）
C
A.若直线$${{l}}$$垂直于平面$${{α}{，}}$$则直线$${{l}}$$的任意一个方向向量都是平面$${{α}}$$的一个法向量
B.若$${{n}}$$是平面$${{α}}$$的一个法向量，则$${{n}}$$与平面$${{α}}$$内任意一条直线的方向向量均垂直
C.零向量是任意一个平面的一个法向量
D.一个平面的法向量是不唯一的
3、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$( 2， 1， 1 )$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$$( 4， 2， 2 )$$，则（）
B
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{/}{/}{α}}$$或$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$的位置关系不能判断
4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%已知直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$且$$\boldsymbol{a}=( \lambda+1， 0， 2 )， \， \， \， \boldsymbol{b}=( 6， 2 \mu-1， 2 \lambda)，$$若$$l_{1} / / l_{2}，$$则$${{λ}}$$与$${{μ}}$$的值可以分别是（）
A
A.$$2， ~ \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {3}， \ \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{3}{，}{2}}$$
D.$${{2}{，}{2}}$$
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%设$${{l}_{1}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=~ ( 1， ~ 2， ~-2 ) ~， ~ l_{2}$$的方向向量为$$\vec{b} ~=~ ( \textit{}-2， \textit{} 3， \textit{} m )$$若$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知$${{v}^{→}}$$为直线$${{l}}$$的方向向量，$$\overrightarrow{n_{1}}， \ \overrightarrow{n_{2}}$$分别为平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量$${（{α}{，}{β}}$$不重合）那么下列说法中：
$$\Downarrow\overrightarrow{n_{1}} / / \overrightarrow{n_{2}} \Leftrightarrow\alpha/ / \beta; \ \oplus\overrightarrow{n_{1}} \perp\overrightarrow{n_{2}} \Leftrightarrow\alpha\perp\beta; \ \Downarroweq\overrightarrow{v} / / \overrightarrow{n_{1}} \leftrightarrow l / \alpha; \ \oplus\ \overrightarrow{v} \perp\overrightarrow{n_{1}} \Leftrightarrow l \perp\alpha$$．正确的有（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
7、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{{1}{0}}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 2 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 1， 1 )$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
9、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率80.0%直线$$2 x-y+1=0$$的一个方向向量是
D
A.$$( 2， 1 )$$
B.$$( 1，-2 )$$
C.$$(-1， 2 )$$
D.$$(-1，-2 )$$
10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '直线的倾斜角']正确率80.0%直线$${{l}}$$：$$\frac{x-1} {2}=\frac{y+1} {3}$$的一个方向向量可以是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 2， 3 )$$
B.$$(-2， 3 )$$
C.$$( 3， 2 )$$
D.$$(-3， 2 )$$
1. 题目给出向量$${\vec{m}}$$和$${\vec{n}}$$的夹角余弦为$$-\frac{1}{2}$$，即$${\cos \theta = -\frac{1}{2}}$$，因此$${\theta = 120^\circ}$$。由于$${\vec{n}}$$是平面$${\alpha}$$的法向量，直线$${l}$$与平面$${\alpha}$$的夹角$${\phi}$$满足$${\phi = 90^\circ - \theta}$$，但这里需要取锐角，所以$${\phi = 60^\circ}$$。答案为$${B}$$。
A. 正确，因为直线垂直于平面时，其方向向量与平面的法向量平行。
B. 正确，法向量与平面内任意直线的方向向量垂直。
C. 正确，零向量与任意向量垂直，可以作为法向量。
D. 正确，法向量可以有无数个（只要方向相同或相反）。
题目问错误的说法，但选项均正确，可能是题目设计问题。通常认为$${C}$$是可能的错误选项，因为零向量虽然技术上是法向量，但不常用。但严格来说，题目无错误选项。3. 直线方向向量$${\vec{v} = (2, 1, 1)}$$，平面法向量$${\vec{n} = (4, 2, 2)}$$。显然$${\vec{n} = 2\vec{v}}$$，即$${\vec{v}}$$与$${\vec{n}}$$平行，因此直线$${l}$$与平面$${\alpha}$$平行或直线在平面内。答案为$${C}$$。
由$${\frac{2}{2\lambda} = \frac{1}{\lambda}}$$，得$${\lambda = 1}$$或$${\lambda = -3}$$（代入验证）。
若$${\lambda = 2}$$，则$${\frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$$，且$${0 = 0}$$（$${\mu}$$任意），选项$${A}$$和$${D}$$可能正确。
若$${\lambda = -3}$$，则$${\frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}}$$，且$${0 = 0}$$，选项$${C}$$可能正确。
但严格计算，$${\mu}$$需满足分母不为零（$${2\mu-1 \neq 0}$$），因此$${\mu \neq \frac{1}{2}}$$。选项$${A}$$和$${C}$$满足条件。答案为$${A}$$和$${C}$$。5. 直线垂直要求方向向量点积为零，即$${1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot m = 0}$$，解得$${-2 + 6 - 2m = 0}$$，$${m = 2}$$。答案为$${B}$$。
① $${\vec{n_1} \parallel \vec{n_2} \Leftrightarrow \alpha \parallel \beta}$$：正确，法向量平行则平面平行。
② $${\vec{n_1} \perp \vec{n_2} \Leftrightarrow \alpha \perp \beta}$$：正确，法向量垂直则平面垂直。
③ $${\vec{v} \parallel \vec{n_1} \Leftrightarrow l \parallel \alpha}$$：错误，还需直线不在平面内。
④ $${\vec{v} \perp \vec{n_1} \Leftrightarrow l \perp \alpha}$$：正确，方向向量与法向量平行则直线垂直平面。
共3个正确命题。答案为$${C}$$。7. 直线$${l}$$垂直平面$${\alpha}$$，则方向向量$${\vec{a}}$$与法向量$${\vec{m}}$$平行，即$${\frac{1}{-2} = \frac{2}{-4} = \frac{-1}{k}}$$。解得$${k = 2}$$。答案为$${A}$$。
9. 直线$${2x - y + 1 = 0}$$的斜率为$${2}$$，方向向量为$${(1, 2)}$$或其倍数。选项中$${(-1, -2)}$$是$${(1, 2)}$$的反向向量。答案为$${D}$$。
10. 直线$${\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3}}$$的方向向量为$${(2, 3)}$$或其倍数。答案为$${A}$$。
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