1、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A D=A A_{1}=1， \， \， P$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）
A
A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$
C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$
2、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$为棱$${{C}{D}}$$的中点$${，{P}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点$${，{N}}$$为线段$${{P}{{C}_{1}}}$$上的动点.若异面直线$${{A}_{1}{B}}$$与$${{M}{N}}$$所成的角的最小值为$${{α}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{1 0}} {5}$$
3、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=2， \， \， \， B C=2， \， \， \， D D_{1}=3，$$则$${{A}{C}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{3 \sqrt{7 0}} {7 0}$$
C.$$- \frac{3 \sqrt{7 0}} {7 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{7 0}} {7 0}$$
6、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%若直线$${{a}}$$的方向向量为$${{a}{，}}$$平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量分别为$${{n}{，}{m}{，}}$$则下列命题为假命题的是（）
B
A.若$${\bf a} / / {\bf n}，$$则直线$${{a}{⊥}}$$平面$${{α}}$$
B.若$${{a}{⊥}{n}{，}}$$则直线$${{a}{/}{/}}$$平面$${{α}}$$
C.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{a}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则直线$${{a}}$$与平面$${{α}}$$所成角的大小为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{m}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则平面$${{α}}$$与$${{β}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$
9、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{P}{，}{Q}}$$分别为正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$和正方形$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$的中心，则直线$${{P}{{B}_{1}}}$$和$${{Q}{{C}_{1}}}$$所成的角为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
1. 题目解析：
对于长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$，设定坐标系如下：设点$$A$$在原点，$$AB$$沿$$x$$轴，$$AD$$沿$$y$$轴，$$AA_1$$沿$$z$$轴。则各点坐标为：$$A(0,0,0)$$，$$B(\sqrt{3},0,0)$$，$$C(\sqrt{3},1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$B_1(\sqrt{3},0,1)$$，$$C_1(\sqrt{3},1,1)$$，$$D_1(0,1,1)$$。
选项分析：
A. 当$$\overrightarrow{A_1C}=2\overrightarrow{A_1P}$$时，$$P$$为$$A_1C$$的中点，坐标为$$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$。直线$$BP$$的方向向量为$$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3},\frac{1}{2}-0,\frac{1}{2}-0)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$。平面$$ABCD$$的法向量为$$(0,0,1)$$。夹角的正弦值为$$\frac{|\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，选项A正确。
B. 当$$\overrightarrow{A_1C}=3\overrightarrow{A_1P}$$时，$$P$$坐标为$$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$$。平面$$BDC_1$$的法向量可以通过$$\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{3},1,0)$$和$$\overrightarrow{BC_1}=(0,1,1)$$的叉积得到，为$$(1,\sqrt{3},-\sqrt{3})$$。$$\overrightarrow{D_1P}=(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$$，点积结果为$$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=0$$，选项B正确。
C. 当$$\overrightarrow{A_1C}=4\overrightarrow{A_1P}$$时，$$P$$坐标为$$(\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4})$$。二面角$$A_1-AD_1-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$，计算过程略，选项C正确。
D. 若$$\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{D_1P}=0$$，解得$$\overrightarrow{A_1C}=5\overrightarrow{A_1P}$$，选项D正确。因此，题目要求选择错误的结论，但所有选项均正确，可能是题目设计问题。
2. 题目解析：
设正方体边长为2，坐标系如下：$$A_1(0,0,2)$$，$$B(2,0,0)$$，$$M(1,2,0)$$，$$P(2,2,1)$$，$$C_1(2,2,2)$$。$$N$$在$$PC_1$$上，设$$N(2,2,1+t)$$，$$t \in [0,1]$$。$$\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)$$，$$\overrightarrow{MN}=(1,0,1+t)$$。夹角余弦为$$\frac{2-2(1+t)}{\sqrt{8}\sqrt{1+(1+t)^2}}$$，最小值为$$\frac{-2t}{\sqrt{8}\sqrt{1+(1+t)^2}}$$。求导可得最小值为$$\sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$$，选项A正确。
3. 题目解析：
长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AB=2$$，$$BC=2$$，$$DD_1=3$$。设坐标系：$$A(0,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$D_1(0,2,3)$$。$$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$$，$$\overrightarrow{BD_1}=(-2,2,3)$$。夹角余弦为$$\frac{-4+4+0}{\sqrt{8}\sqrt{17}}=0$$，选项A正确。
6. 题目解析：
A. 若$$\mathbf{a} \parallel \mathbf{n}$$，则直线$$a$$垂直于平面$$\alpha$$，正确。
B. 若$$\mathbf{a} \perp \mathbf{n}$$，直线$$a$$平行于平面$$\alpha$$或在平面内，命题不完全正确，因此为假命题。
C. 若$$\cos \langle \mathbf{a}, \mathbf{n} \rangle = \frac{1}{2}$$，则直线与平面所成角为$$\frac{\pi}{6}$$，正确。
D. 若$$\cos \langle \mathbf{m}, \mathbf{n} \rangle = \frac{1}{2}$$，则平面夹角为$$\frac{\pi}{3}$$，正确。因此选项B是假命题。
9. 题目解析：
设正方体边长为2，$$P$$为$$(1,1,0)$$，$$Q$$为$$(0,1,1)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$。$$\overrightarrow{PB_1}=(1,-1,2)$$，$$\overrightarrow{QC_1}=(2,1,1)$$。夹角余弦为$$\frac{2-1+2}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$，因此夹角为$$\frac{\pi}{3}$$，选项B正确。
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