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正确率40.0%已知平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$，底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是边长为$${{1}}$$的正方形，$$A A_{1}=2， \， \， \angle A_{1} \， A B=\angle A_{1} \， A D=1 2 0^{\circ}$$，则异面直线$${{A}{{C}_{1}}}$$与$${{A}_{1}{D}}$$所成角的余弦值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 4}} {7}$$
2、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$为棱$${{C}{D}}$$的中点$${，{P}}$$为棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点$${，{N}}$$为线段$${{P}{{C}_{1}}}$$上的动点.若异面直线$${{A}_{1}{B}}$$与$${{M}{N}}$$所成的角的最小值为$${{α}{，}}$$则$$\operatorname{s i n} \! \alpha=$$（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{1 0}} {5}$$
3、['空间向量基本定理的应用'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中$$P A=8， \， \， \， A B=6， \， \， \， A C=4， \， \， \， B C=5， \， \， \， \angle P A C=4 5^{\circ}， \， \， \， \angle P A B=6 0^{\circ}，$$向量$$\overrightarrow{A P}$$与$$\overrightarrow{B C}$$的夹角的余弦值是
（）
B
A.$$\frac{3-2 \sqrt{2}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}-3} {5}$$
C.$$\frac{2-3 \sqrt{2}} {5}$$
D.$${{0}}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \langle\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b} \rangle$$$$=-\frac{1} {4}，$$则下列说法错误的是（）
B
A.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量，则直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
B.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
C.若$${{a}{，}{b}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
D.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的正弦值是$$\frac{1} {4}$$
5、['立体几何中的折叠问题'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
6、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{O}}$$为$${{A}{C}}$$的中点，则异面直线$${{O}{{B}_{1}}}$$与$${{A}_{1}{D}}$$所成角的大小为 （）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
7、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%svg异常
B
A.$$\frac{\sqrt{3 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{1 1 0}} {5 5}$$
C.$$\frac{\sqrt{3 0}} {1 5}$$
D.$$\frac{6 \sqrt{1 1 0}} {5 5}$$
8、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
9、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=2， \， \， \， B C=1， \， \， \， A A_{1}=1， \， \， \， E， \， \， \， F$$分别为棱$$A_{1} B_{1}， \ C_{1} D_{1}$$的中点，则异面直线$${{A}{F}}$$与$${{B}{E}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，若
则异面直线$${{B}{{A}_{1}}}$$与$${{B}_{1}{C}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$${{0}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
1. 首先建立坐标系，设点$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$。根据题意，$$AA_1=2$$，且$$\angle A_1AB = \angle A_1AD = 120^\circ$$。计算$$A_1$$的坐标：
$$A_1$$在$$x$$和$$y$$方向的投影分别为$$2\cos120^\circ = -1$$，$$2\sin120^\circ = \sqrt{3}$$，故$$A_1(-1, \sqrt{3}, 0)$$。
$$C_1$$的坐标为$$C(1,1,0) + A_1(-1, \sqrt{3}, 0) = (0, 1+\sqrt{3}, 0)$$。
向量$$\overrightarrow{AC_1} = (0, 1+\sqrt{3}, 0)$$，向量$$\overrightarrow{A_1D} = (0-(-1), 1-\sqrt{3}, 0-0) = (1, 1-\sqrt{3}, 0)$$。
计算夹角的余弦值：
$$\cos\theta = \frac{(0)(1) + (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + (0)(0)}{\sqrt{0^2 + (1+\sqrt{3})^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + (1-\sqrt{3})^2 + 0^2}} = \frac{(1-3)}{\sqrt{4+2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4-2\sqrt{3}}} = \frac{-2}{2} = -1$$。
但题目要求的是异面直线的夹角，取绝对值，余弦值为$$1$$，但选项中没有。重新检查计算过程：
实际上，$$AC_1$$的坐标应为$$(0, 1+\sqrt{3}, 2)$$（因为$$AA_1=2$$在$$z$$方向），修正后：
$$\overrightarrow{AC_1} = (0, 1+\sqrt{3}, 2)$$，$$\overrightarrow{A_1D} = (1, 1-\sqrt{3}, 0)$$。
$$\cos\theta = \frac{0 \cdot 1 + (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + 2 \cdot 0}{\sqrt{0 + (1+\sqrt{3})^2 + 4} \cdot \sqrt{1 + (1-\sqrt{3})^2 + 0}} = \frac{-2}{\sqrt{8+2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4-2\sqrt{3}}}$$。
进一步化简分母：
$$\sqrt{8+2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(8+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \sqrt{32 - 16\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 12} = \sqrt{20 - 8\sqrt{3}}$$。
分子为$$-2$$，取绝对值后：
$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{20 - 8\sqrt{3}}}$$，但选项中没有匹配的。可能需要重新选择坐标系或方法。
换用向量法：
设$$\overrightarrow{AB} = \mathbf{i}$$，$$\overrightarrow{AD} = \mathbf{j}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = -1\mathbf{i} + \sqrt{3}\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$。
$$\overrightarrow{AC_1} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \overrightarrow{AA_1} = (1-1)\mathbf{i} + (1+\sqrt{3})\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (0, 1+\sqrt{3}, 2)$$。
$$\overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_1} = \mathbf{j} - (-1\mathbf{i} + \sqrt{3}\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = (1, 1-\sqrt{3}, -2)$$。
计算点积和模：
$$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{A_1D} = 0 \cdot 1 + (1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) + 2 \cdot (-2) = (1-3) -4 = -6$$。
$$|\overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{0 + (1+\sqrt{3})^2 + 4} = \sqrt{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4} = \sqrt{8 + 2\sqrt{3}}$$。
$$|\overrightarrow{A_1D}| = \sqrt{1 + (1-\sqrt{3})^2 + 4} = \sqrt{1 + 1 - 2\sqrt{3} + 3 + 4} = \sqrt{9 - 2\sqrt{3}}$$。
$$\cos\theta = \frac{6}{\sqrt{8 + 2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{9 - 2\sqrt{3}}}$$，但选项仍不匹配。可能题目有其他隐含条件。
经过重新计算，最接近的选项是$$\boxed{B}$$。
2. 设正方体边长为$$2$$，建立坐标系：
$$A_1(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$M(1,2,0)$$，$$P(2,2,1)$$，$$C_1(2,2,2)$$。
$$A_1B$$的方向向量为$$(2,0,0)$$。
设$$N$$在$$PC_1$$上，参数$$t \in [0,1]$$，$$N = P + t(C_1 - P) = (2,2,1 + t)$$。
$$MN$$的方向向量为$$(2-1, 2-2, 1+t-0) = (1, 0, 1+t)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos\phi = \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (1+t)}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{1 + (1+t)^2}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{1 + (1+t)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (1+t)^2}}$$。
当$$t=0$$时，$$\cos\phi$$最大，$$\phi$$最小：
$$\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，但选项中没有。
可能题目有其他条件，最接近的选项是$$\boxed{B}$$。
3. 计算$$\overrightarrow{AP}$$与$$\overrightarrow{BC}$$的夹角：
$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (4,0,0) - (6,0,0) = (-2,0,0)$$。
$$\overrightarrow{AP}$$的模为$$8$$，方向未知，但题目给出$$\angle PAC = 45^\circ$$，$$\angle PAB = 60^\circ$$。
设$$\overrightarrow{AP} = (x,y,z)$$，则：
$$\cos60^\circ = \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} = \frac{6x}{8 \cdot 6} = \frac{x}{8} = \frac{1}{2}$$，故$$x=4$$。
$$\cos45^\circ = \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AP}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{4x}{8 \cdot 4} = \frac{x}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，矛盾，可能题目有其他条件。
最接近的选项是$$\boxed{B}$$。
4. 选项分析：
A. 直线夹角的余弦值为方向向量夹角的绝对值，正确。
B. 直线与平面夹角的正弦值为方向向量与法向量夹角的余弦值，错误。
C. 平面夹角的余弦值为法向量夹角的绝对值，正确。
D. 描述正确。
错误的选项是$$\boxed{B}$$。
5. SVG异常，无法解析，选项可能是$$\boxed{B}$$。
6. 设正方体边长为$$2$$，建立坐标系：
$$O(1,1,0)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$D(0,2,0)$$。
$$\overrightarrow{OB_1} = (1,-1,2)$$，$$\overrightarrow{A_1D} = (0,2,-2)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos\theta = \frac{1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-2)}{\sqrt{1+1+4} \cdot \sqrt{0+4+4}} = \frac{-6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{8}} = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
夹角为$$150^\circ$$，但异面直线夹角取锐角，故为$$30^\circ$$，即$$\frac{\pi}{6}$$。
答案为$$\boxed{A}$$。
7. SVG异常，无法解析，选项可能是$$\boxed{A}$$。
8. SVG异常，无法解析，选项可能是$$\boxed{D}$$。
9. 建立坐标系：
$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$F(1,2,1)$$，$$E(1,0,1)$$。
$$\overrightarrow{AF} = (1,2,1)$$，$$\overrightarrow{BE} = (-1,0,1)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos\theta = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{\sqrt{1+4+1} \cdot \sqrt{1+0+1}} = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = 0$$。
答案为$$\boxed{A}$$。
10. 设直三棱柱的边长为$$1$$，建立坐标系：
$$B(0,0,0)$$，$$A(1,0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$B_1(0,0,1)$$，$$A_1(1,0,1)$$。
$$\overrightarrow{BA_1} = (1,0,1)$$，$$\overrightarrow{B_1C} = (0,1,-1)$$。
计算夹角余弦：
$$\cos\theta = \frac{1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{1+0+1} \cdot \sqrt{0+1+1}} = \frac{-1}{2}$$。
取绝对值后，答案为$$\boxed{B}$$。