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正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=( 2， \; \; 4， \; \; x )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量$$\boldsymbol{n}=( 1， \ y， \ 3 )，$$若$$A B / \! / \alpha，$$则（）
C
A.$$x=6， ~ y=2$$
B.$$x=2， ~ y=6$$
C.$$3 x+4 y+2=0$$
D.$$4 x+3 y+2=0$$
3、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{u}=(-2， \; \; 2， \; \; 5 )， \; \; \overrightarrow{v}=( 6， \; \;-4， \; 4 )，$$$${{u}^{→}{，}{{v}^{→}}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的一个法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的位置关系为（）
B
A.平行
B.垂直
C.相交且夹角为锐角
D.无法确定
4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%下列说法中不正确的是（）
D
A.平面$${{α}}$$的法向量垂直于与平面$${{α}}$$共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面也互相垂直
D.如果$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$与平面$${{α}}$$共面且$$\overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{a}， \overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{b}，$$那么$${{n}^{→}}$$就是平面$${{α}}$$的一个法向量
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知点$${{P}}$$是平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$所在的平面外一点，如果$$\overrightarrow{A B}=( 2，-1，-4 )， \， \， \， \overrightarrow{A D}=( 4， 2， 0 )， \， \， \， \overrightarrow{A P}=(-1， 2，-1 ).$$对于结论：$$\odot\left| \overrightarrow{A D} \right|=6 ; \， \， \oplus\， A P \bot A D ; \， \， \odot\， \overrightarrow{A P}$$，是平面$${{A}{B}{C}{D}}$$的法向量；$$\oplus\overrightarrow{A P} / / \overrightarrow{B D}$$.其中正确的是（）
B
A.$${②{④}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${①{③}}$$
D.$${①{②}}$$
6、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '直线与平面垂直的性质定理'， '平面的法向量及其应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{s}=( 1， 2， x )，$$平面$${{α}}$$的法向量$$\overrightarrow{n}=(-2， y， 2 )，$$若$${{l}{⊂}{α}}$$，则$${{x}{y}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
7、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%设直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 2，-2 )，$$平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{b}=(-2， 3， m )，$$若$${{l}{/}{/}{α}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（$${）}$$．
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['空间向量的相关概念'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量数量积的性质']正确率0.0%
给出下列命题，其中是真命题个数的是 $${{(}}$$ $${{)}}$$
$${{(}{1}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 1，-1， 2 )$$ ，直线 $${{m}}$$ 的方向向量 $$\vec{b}=( 2， 1，-\frac{1} {2} )$$ ，则 $${{l}}$$ 与 $${{m}}$$ 平行
$${{(}{2}{)}{.}}$$ 若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\overrightarrow{a}=( 0， 1，-1 )$$ ，平面 $${{α}}$$ 的法向量 $$\overrightarrow{n}=( 1，-1，-1 )$$ ，则 $${{l}{⊥}{α}}$$
$${{(}{3}{)}{.}}$$ 若平面 $${{α}}$$ ， $${{β}}$$ 的法向量分别为 $$\overrightarrow{n}_{1}=( 0， 1， 3 )$$ ， $$\overrightarrow{n}_{2}=( 1， 0， 2 )$$ ，则 $${{α}{⊥}{β}}$$
$${{(}{4}{)}{.}}$$若平面$${{α}}$$经过三点$$A \left( 1， 0，-1 \right)$$，$$B \left( 0， 1， 0 \right)$$，$$C \， (-1， 2， 0 )$$，向量$$\vec{n}=( 1， u， t )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则$$u+t=1$$$${{(}{5}{)}}$$在空间直角坐标系$$O-x y z$$中，若点$$A ( 1， 2， 3 )$$，$$B ( 1，-1， 4 )$$，点$${{C}}$$是点$${{A}}$$关于平面$${{y}{O}{z}}$$的对称点，则点$${{B}}$$与$${{C}}$$的距离为$${\sqrt {{1}{4}}}$$
$${{(}{6}{)}}$$若$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 0 )$$，$$\vec{b}=(-1， 0， 2 )$$，则与$${{a}^{→}{+}{{b}^{→}}}$$共线的单位向量是$$\pm\left( 0， \frac{\sqrt{5}} {5}， \frac{2 \sqrt{5}} {5} \right)$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
9、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{m}=( 3，-1， 2 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=( 2， 3，-1 )$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
2、已知向量$$\overrightarrow{AB}=(2,4,x)$$，平面$$\alpha$$的法向量$$\boldsymbol{n}=(1,y,3)$$，若$$AB \parallel \alpha$$，则$$\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n} = 0$$。
计算点积：$$2 \times 1 + 4 \times y + x \times 3 = 0$$，即$$2 + 4y + 3x = 0$$，整理得$$3x + 4y + 2 = 0$$。
选项C符合该方程，故选C。
3、已知$$\overrightarrow{u}=(-2,2,5)$$，$$\overrightarrow{v}=(6,-4,4)$$，分别是平面$$\alpha$$、$$\beta$$的法向量。
计算点积：$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-2) \times 6 + 2 \times (-4) + 5 \times 4 = -12 -8 + 20 = 0$$。
点积为零，说明两法向量垂直，因此平面$$\alpha$$与$$\beta$$垂直，故选B。
4、分析各选项：
A. 正确，法向量定义即为垂直于平面内所有向量。
B. 正确，同一平面的法向量互相平行。
C. 正确，法向量垂直则两平面垂直。
D. 不正确，$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$需不共线且与平面共面，$$\overrightarrow{n}$$才可能是法向量，但这里未说明$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{b}$$不共线，因此不一定成立。
故选D。
5、已知$$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-4)$$，$$\overrightarrow{AD}=(4,2,0)$$，$$\overrightarrow{AP}=(-1,2,-1)$$。
①计算$$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \neq 6$$，错误。
②计算$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AD} = (-1) \times 4 + 2 \times 2 + (-1) \times 0 = -4 + 4 + 0 = 0$$，垂直，正确。
③判断$$\overrightarrow{AP}$$是否为法向量：需与$$\overrightarrow{AB}$$和$$\overrightarrow{AD}$$均垂直。$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1) \times 2 + 2 \times (-1) + (-1) \times (-4) = -2 -2 + 4 = 0$$，已与$$\overrightarrow{AD}$$垂直，故是法向量，正确。
④$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = (4-2, 2-(-1), 0-(-4)) = (2,3,4)$$，$$\overrightarrow{AP}=(-1,2,-1)$$，显然不平行，错误。
故②③正确，选B。
6、直线$$l$$的方向向量$$\overrightarrow{s}=(1,2,x)$$，平面$$\alpha$$的法向量$$\overrightarrow{n}=(-2,y,2)$$，若$$l \subset \alpha$$，则$$\overrightarrow{s} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$。
计算点积：$$1 \times (-2) + 2 \times y + x \times 2 = -2 + 2y + 2x = 0$$，即$$x + y = 1$$。
求$$xy$$最大值：由$$x+y=1$$，$$xy = x(1-x) = -x^2 + x$$，当$$x = \frac{1}{2}$$时取最大值$$\frac{1}{4}$$。
故选B。
7、直线方向向量$$\overrightarrow{a}=(1,2,-2)$$，平面法向量$$\overrightarrow{b}=(-2,3,m)$$，若$$l \parallel \alpha$$，则$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。
计算点积：$$1 \times (-2) + 2 \times 3 + (-2) \times m = -2 + 6 - 2m = 4 - 2m = 0$$，解得$$m=2$$。
故选B。
8、逐一判断命题：
(1) $$\overrightarrow{a}=(1,-1,2)$$，$$\overrightarrow{b}=(2,1,-\frac{1}{2})$$，$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$不成比例，故不平行，错误。
(2) $$\overrightarrow{a}=(0,1,-1)$$，$$\overrightarrow{n}=(1,-1,-1)$$，点积$$0 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times (-1) = 0 -1 + 1 = 0$$，故$$l \perp \alpha$$，正确。
(3) $$\overrightarrow{n_1}=(0,1,3)$$，$$\overrightarrow{n_2}=(1,0,2)$$，点积$$0 \times 1 + 1 \times 0 + 3 \times 2 = 0 + 0 + 6 = 6 \neq 0$$，故不垂直，错误。
(4) 三点A(1,0,-1)、B(0,1,0)、C(-1,2,0)，向量$$\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$$，$$\overrightarrow{AC}=(-2,2,1)$$。法向量$$\overrightarrow{n}$$应满足$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$和$$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0$$。设$$\overrightarrow{n}=(1,u,t)$$，则有： $$1 \times (-1) + u \times 1 + t \times 1 = -1 + u + t = 0$$， $$1 \times (-2) + u \times 2 + t \times 1 = -2 + 2u + t = 0$$。 解方程组：由第一式$$u+t=1$$，第二式$$2u+t=2$$，相减得$$u=1$$，代入得$$t=0$$，故$$u+t=1$$，正确。
(5) 点A(1,2,3)关于yOz平面对称点C为(-1,2,3)，B(1,-1,4)，计算BC距离：$$\sqrt{(-1-1)^2 + (2-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$，正确。
(6) $$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (1-1, 1+0, 0+2) = (0,1,2)$$，模长$$\sqrt{0^2+1^2+2^2}=\sqrt{5}$$，单位向量为$$\pm \frac{1}{\sqrt{5}}(0,1,2) = \pm (0, \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5})$$，正确。
正确命题为(2)、(4)、(5)、(6)，共4个，故选D。
9、直线方向向量$$\overrightarrow{m}=(3,-1,2)$$，平面法向量$$\overrightarrow{n}=(2,3,-1)$$。
计算点积：$$3 \times 2 + (-1) \times 3 + 2 \times (-1) = 6 -3 -2 = 1 \neq 0$$，故不垂直；$$\overrightarrow{m}$$与$$\overrightarrow{n}$$不成比例，故不平行；因此直线与平面斜交，故选D。