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正确率60.0%已知直线$${{l}_{1}}$$的一个方向向量为$${{a}{=}{(}{2}{，}{4}{，}{x}{)}{，}}$$直线$${{l}_{2}}$$的一个方向向量为$${{b}{=}{(}{2}{，}{y}{，}{2}{)}{，}}$$若$${{|}{a}{|}{=}{6}{，}}$$且$${{a}{⊥}{b}{，}}$$则$${{x}{+}{y}}$$的值是（）
A
A.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$
B.$${{3}}$$或$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{1}}$$
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$和平面$${{A}{B}{C}{，}}$$若直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{n}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{，}{−}{5}{)}{，}}$$向量$$\overrightarrow{A B}=( 1， ~ 0， ~-1 )， ~ \overrightarrow{A C}=( 2， ~ 1， ~ 0 ).$$则下列结论一定正确的为（）
D
A.$${{l}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$
B.$${{l}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$相交，但不垂直
C.$${{l}{/}{/}}$$直线$${{B}{C}}$$
D.$${{l}{/}{/}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$或$${{l}{⊂}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$
3、['空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率80.0%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$的一个方向向量分别是$${{m}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{−}{3}{)}{，}{n}{=}{(}{1}{，}{−}{3}{，}{2}{)}{，}}$$则$${{a}{，}{b}}$$所成角的大小是（）
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
4、['空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%已知两个异面直线的方向向量分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$且$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}{=}{1}{，}}$$$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1} {2}，$$则两直线的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
5、['异面直线所成的角'， '空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%已知异面直线$${{a}{，}{b}}$$的方向向量分别是$${{m}^{→}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{−}{3}{)}{，}{{n}^{→}}{=}{(}{1}{，}{−}{3}{，}{2}{)}}$$，则$${{a}{，}{b}}$$夹角的大小是（）
C
A.$$\frac{5 \pi} {6}$$
B.$$\frac{3 \pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
6、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%设直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}{，}{l}}$$$${{⊂}{̸}}$$$${{α}{，}}$$则使$${{l}{/}{/}{α}}$$成立的是（）
B
A.$${{a}{=}{(}{1}{，}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{n}{=}{(}{−}{1}{，}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
B.$${{a}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{3}{)}{，}{n}{=}{(}{−}{1}{，}{1}{，}{1}{)}}$$
C.$${{a}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{0}{)}{，}{n}{=}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{0}{)}}$$
D.$${{a}{=}{(}{1}{，}{−}{2}{，}{1}{)}{，}{n}{=}{(}{1}{，}{1}{，}{2}{)}}$$
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%设$${{l}_{1}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{=}{（}{1}{，}{2}{，}{−}{2}{）}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量为$${{b}^{→}{=}{（}{−}{2}{，}{3}{，}{m}{）}{，}}$$若$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['充分、必要条件的判定'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '直线与平面所成的角']正确率60.0%设平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}}$$，直线$${{l}}$$的方向向量为$${{m}^{→}}$$，那么$${{“}{<}{{m}^{→}}{，}{{n}^{→}}{{>}{=}}{{6}{0}^{∘}}{”}}$$是$${{“}}$$直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$夹角为$${{3}{0}^{∘}{”}}$$的（）
A
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{2}{)}}$$，平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{1}{，}{1}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$${{m}^{→}{=}{(}{3}{，}{−}{1}{，}{2}{)}}$$，平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}{=}{(}{2}{，}{3}{，}{−}{1}{)}}$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
1. 已知方向向量 $$a=(2,4,x)$$ 和 $$b=(2,y,2)$$，且 $$|a|=6$$ 且 $$a \perp b$$。首先根据模长条件：$$2^2 + 4^2 + x^2 = 6^2$$，解得 $$x^2 = 16$$，即 $$x = \pm 4$$。再由垂直条件 $$a \cdot b = 0$$，即 $$2 \times 2 + 4 \times y + x \times 2 = 0$$，代入 $$x$$ 得：
当 $$x=4$$ 时，$$4 + 4y + 8 = 0$$，解得 $$y=-3$$；
当 $$x=-4$$ 时，$$4 + 4y - 8 = 0$$，解得 $$y=1$$。
因此 $$x+y=1$$ 或 $$-3$$，选项 A 正确。
答案：$$A$$
2. 直线 $$l$$ 的方向向量 $$n=(1,-2,-5)$$，平面 $$ABC$$ 的法向量可通过叉积求得：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1, -2, 1)$$。由于 $$n$$ 与法向量不平行（$$n \neq k \cdot (1,-2,1)$$），直线 $$l$$ 不与平面垂直。又因为 $$n \cdot (1,-2,1) = 1 \times 1 + (-2) \times (-2) + (-5) \times 1 = 0$$，说明 $$l$$ 与平面平行或在平面内，选项 D 正确。
答案：$$D$$
3. 异面直线的夹角由方向向量 $$m=(2,1,-3)$$ 和 $$n=(1,-3,2)$$ 的夹角决定。计算点积：$$m \cdot n = 2 \times 1 + 1 \times (-3) + (-3) \times 2 = -7$$。模长 $$|m| = \sqrt{14}$$，$$|n| = \sqrt{14}$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{-7}{14} = -\frac{1}{2}$$，因此 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，选项 A 正确。
答案：$$A$$
4. 已知 $$|a|=|b|=1$$ 且 $$a \cdot b = -\frac{1}{2}$$，设夹角为 $$\theta$$，则 $$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$，选项 C 正确。
答案：$$C$$
5. 同第 3 题，方向向量 $$m=(2,1,-3)$$ 和 $$n=(1,-3,2)$$ 的夹角为 $$\frac{2\pi}{3}$$，但题目描述为“夹角”，通常取锐角，因此答案为 $$\frac{\pi}{3}$$（补角），选项 C 正确。
答案：$$C$$
6. 直线 $$l$$ 平行于平面 $$\alpha$$ 的条件是方向向量 $$a$$ 与法向量 $$n$$ 垂直，即 $$a \cdot n = 0$$。验证选项：
A：$$a \cdot n = -1 -1 -4 = -6 \neq 0$$；
B：$$a \cdot n = -2 -1 +3 = 0$$，符合条件；
C：$$a \cdot n = 2 -1 +0 = 1 \neq 0$$；
D：$$a \cdot n = 1 -2 +2 = 1 \neq 0$$。
选项 B 正确。
答案：$$B$$
7. 直线 $$l_1$$ 和 $$l_2$$ 垂直的条件是方向向量 $$a=(1,2,-2)$$ 与 $$b=(-2,3,m)$$ 的点积为零：$$1 \times (-2) + 2 \times 3 + (-2) \times m = 0$$，解得 $$m=2$$，选项 B 正确。
答案：$$B$$
8. 设直线与平面的夹角为 $$\phi$$，方向向量与法向量的夹角为 $$\theta$$，则 $$\phi = 90^\circ - \theta$$。若 $$\theta=60^\circ$$，则 $$\phi=30^\circ$$；反之亦然。因此条件是充要的，选项 C 正确。
答案：$$C$$
9. 方向向量 $$a=(1,0,2)$$ 与法向量 $$n=(-2,1,1)$$ 的点积为 $$-2 + 0 + 2 = 0$$，说明直线与平面平行或直线在平面内，选项 C 正确。
答案：$$C$$
10. 方向向量 $$m=(3,-1,2)$$ 与法向量 $$n=(2,3,-1)$$ 的点积为 $$6 -3 -2 = 1 \neq 0$$，说明直线与平面斜交，选项 D 正确。
答案：$$D$$