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正确率60.0%已知$${{c}{o}{s}{⟨}{a}{，}{b}{⟩}}$$$$=-\frac{1} {4}，$$则下列说法错误的是（）
B
A.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量，则直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
B.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
C.若$${{a}{，}{b}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
D.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的正弦值是$$\frac{1} {4}$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}}$$为棱$${{A}{B}}$$的中点，$${{F}}$$是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$上的点，且$${{B}{F}{：}{F}{{B}_{1}}{=}{1}{：}{3}}$$，则异面直线$${{E}{F}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{1 5} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
7、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{E}}$$是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$中点，$${{G}}$$是$${{D}{{D}_{1}}}$$中点，$${{F}}$$是$${{B}{C}}$$上一点且$$F B={\frac{1} {4}} B C$$，则$${{G}{B}}$$与$${{E}{F}}$$所成的角为（）
D
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
10、['异面直线所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}}$$$${{=}{B}{C}}$$$${{=}{1}}$$，$${{A}{{A}_{1}}{=}{\sqrt {3}}}$$，则异面直线$${{A}{{D}_{1}}}$$与$${{D}{{B}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
1. 题目解析：
已知 $$cos⟨a,b⟩ = -\frac{1}{4}$$，分析各选项：
A选项：若 $$a$$ 和 $$b$$ 是直线的方向向量，直线夹角 $$\theta$$ 的余弦值为 $$|cos⟨a,b⟩| = \frac{1}{4}$$，因此A正确。
B选项：若 $$a$$ 是直线方向向量，$$b$$ 是平面法向量，直线与平面的夹角 $$\phi$$ 满足 $$sin\phi = |cos⟨a,b⟩| = \frac{1}{4}$$，因此余弦值为 $$\sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$，B错误。
C选项：若 $$a$$ 和 $$b$$ 是两平面的法向量，平面夹角 $$\psi$$ 的余弦值为 $$|cos⟨a,b⟩| = \frac{1}{4}$$，因此C正确。
D选项：与B选项一致，$$sin\phi = \frac{1}{4}$$，因此D正确。
综上，错误的选项是 B。
5. 题目解析：
在正方体中建立坐标系，设边长为1：
点坐标：$$E(0.5, 0, 0)$$，$$F(1, 0, 0.25)$$，$$A(0, 0, 0)$$，$$D_1(0, 1, 1)$$。
向量 $$\vec{EF} = (0.5, 0, 0.25)$$，$$\vec{AD_1} = (0, 1, 1)$$。
夹角的余弦值：$$cos\theta = \frac{\vec{EF} \cdot \vec{AD_1}}{|\vec{EF}| \cdot |\vec{AD_1}|} = \frac{0.25}{\sqrt{0.3125} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$。
正确答案是 C。
7. 题目解析：
在正方体中建立坐标系，设边长为1：
点坐标：$$G(0, 1, 0.5)$$，$$B(1, 1, 0)$$，$$E(1, 1, 0.5)$$，$$F(1, 0.75, 0)$$。
向量 $$\vec{GB} = (1, 0, -0.5)$$，$$\vec{EF} = (0, -0.25, -0.5)$$。
夹角的余弦值：$$cos\theta = \frac{\vec{GB} \cdot \vec{EF}}{|\vec{GB}| \cdot |\vec{EF}|} = \frac{0.25}{\sqrt{1.25} \cdot \sqrt{0.3125}} = 0.5$$，因此夹角为 $$60^\circ$$。
正确答案是 C。
10. 题目解析：
在长方体中建立坐标系，设 $$AB = BC = 1$$，$$AA_1 = \sqrt{3}$$：
点坐标：$$A(0, 0, 0)$$，$$D_1(0, 1, \sqrt{3})$$，$$D(0, 1, 0)$$，$$B_1(1, 0, \sqrt{3})$$。
向量 $$\vec{AD_1} = (0, 1, \sqrt{3})$$，$$\vec{DB_1} = (1, -1, \sqrt{3})$$。
夹角的余弦值：$$cos\theta = \frac{\vec{AD_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{DB_1}|} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
正确答案是 C。