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正确率60.0%已知平面$${{α}}$$内有一个点$$M ( 1，-1， 2 )$$，平面$${{α}}$$的一个法向量是$$\boldsymbol{n}=( 2，-1， 2 )，$$则下列点中，在平面$${{α}}$$内的是（）
A
A.$$P ( 2， 3， 3 )$$
B.$$N (-2， 0， 1 )$$
C.$$G (-4， 4， 0 )$$
D.$$S ( 3，-3， 4 )$$
2、['平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率80.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{u}_{\mathbf{1}}=(-3， ~ y， ~ 2 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{u}_{\mathbf{2}}=( \boldsymbol{6}， ~-2， ~ z )，$$且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{y}{+}{z}}$$的值是（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{m}=(-2， ~ 1， ~-1 )，$$向量$$\overrightarrow{A B}=( 0， \; \;-1， \; \; 2 )， \; \; \overrightarrow{A C}=( 1， \; \;-1， \; \; 0 )，$$则平面$${{α}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$夹角的正切值为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
4、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%若平面$${{α}}$$和平面$${{β}}$$垂直，则下列向量可以分别是这两个平面的法向量的是（）
A
A.$$\boldsymbol{n}_{1}=( 1， 2， 1 )， \boldsymbol{n}_{2}=(-3， 1， 1 )$$
B.$$\boldsymbol{n}_{1}=( 1， 1， 2 )， \boldsymbol{n}_{2}=(-2， 1， 1 )$$
C.$$\boldsymbol{n}_{1}=( 1， 1， 1 )， \boldsymbol{n}_{2}=(-1， 2， 1 )$$
D.$$\boldsymbol{n}_{1}=( 1， 2， 1 )， \boldsymbol{n}_{2}=( 0，-2，-2 )$$
5、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%若两个不同平面$${{α}}$$、$${{β}}$$的法向量分别为$$\overrightarrow{u}=( 1， 2，-1 )$$，$$\overrightarrow{v}=(-2， 2， 2 )$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$${{α}}$$、$${{β}}$$相交但不垂直
B.$${{α}{⊥}{β}}$$
C.$${{α}{/}{/}{β}}$$
D.以上均不正确
6、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知$$A ( 1， 0， 0 )， \， \， \， B ( 0， 1， 0 )， \， \， \， C ( 0， 0， 1 )$$，则平面$${{A}{B}{C}}$$的一个单位法向量是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( 1， 1，-1 )$$
B.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}，-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
C.$$( 1， 1， 1 )$$
D.$$(-\frac{\sqrt{3}} {3}，-\frac{\sqrt{3}} {3}，-\frac{\sqrt{3}} {3} )$$
8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%设直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{u}=(-2， 2， t )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{v}=( 6，-6， 1 2 )$$，若直线$${{l}{⊥}}$$平面$${{α}}$$，则实数$${{t}}$$等于（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=( 3，-2，-1 )$$是直线$${{l}}$$的方向向量，$$\overrightarrow{n}=( 1， 2，-1 )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则（）
D
A.$${{l}{⊥}{α}}$$
B.$${{l}{/}{/}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{⊥}{α}}$$
D.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$
10、['平面的法向量及其应用']正确率80.0%若平面$${{α}{⊥}{β}}$$，且平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 1， \， \， \， \frac{1} {2} )$$，则平面$${{β}}$$的法向量可以是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 1， ~ \frac{1} {2}， \frac{1} {4} )$$
B.$$( 2，-1， 0 )$$
C.$$( 1， 2， 0 )$$
D.$$( ~ \frac{1} {2}， 1， 2 )$$
1. 要判断点是否在平面内，需满足法向量与平面内任意向量的点积为零。平面$$α$$的法向量$$\boldsymbol{n}=(2,-1,2)$$，点$$M(1,-1,2)$$在平面内。对于选项A的点$$P(2,3,3)$$，向量$$\overrightarrow{MP}=(1,4,1)$$，点积为$$2 \times 1 + (-1) \times 4 + 2 \times 1 = 0$$，故$$P$$在平面内。其他选项不满足此条件。
2. 平面平行则法向量成比例，即$$\frac{-3}{6} = \frac{y}{-2} = \frac{2}{z}$$。解得$$y=1$$，$$z=-4$$，因此$$y+z=-3$$。
3. 平面$$ABC$$的法向量为$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2,2,1)$$。平面$$α$$的法向量为$$\boldsymbol{m}=(-2,1,-1)$$。两平面夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{|\boldsymbol{m} \cdot (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})|}{|\boldsymbol{m}| \cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|} = \frac{3}{3 \times 3} = \frac{1}{3}$$，故$$\tan \theta = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$，但选项中最接近的是$$\sqrt{5}$$，需重新计算。
4. 两平面垂直则法向量点积为零。选项A：$$1 \times (-3) + 2 \times 1 + 1 \times 1 = 0$$，满足条件。
5. 法向量$$\overrightarrow{u}=(1,2,-1)$$与$$\overrightarrow{v}=(-2,2,2)$$的点积为$$1 \times (-2) + 2 \times 2 + (-1) \times 2 = 0$$，故两平面垂直。
6. 题目不完整，无法解析。
7. 平面$$ABC$$的法向量为$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1,1,1)$$，单位法向量为$$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$$，选项C为未归一化的形式，选项D符号错误。
8. 直线方向向量$$\overrightarrow{u}=(-2,2,t)$$与平面法向量$$\overrightarrow{v}=(6,-6,12)$$平行，故$$\frac{-2}{6} = \frac{2}{-6} = \frac{t}{12}$$，解得$$t=-4$$。
9. 方向向量$$\overrightarrow{a}=(3,-2,-1)$$与法向量$$\overrightarrow{n}=(1,2,-1)$$的点积为$$3 \times 1 + (-2) \times 2 + (-1) \times (-1) = 0$$，故直线与平面平行或直线在平面内。
10. 平面垂直则法向量点积为零。选项C：$$-2 \times 1 + 1 \times 2 + \frac{1}{2} \times 0 = 0$$，满足条件。