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正确率60.0%已知$$A ( 1， \ 2， \ 1 )， \ B ( 0， \ 1， \ 2 )， \ C ( 3， \ 1， \ 1 )，$$若平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( x， ~ y， ~ 1 )，$$则$${{n}{=}}$$（）
C
A.$$\left(-\frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3}， ~ 1 \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {3}， ~-\frac{2} {3}， ~ 1 \right)$$
C.$$\left( \frac{1} {3}， \ \frac{2} {3}， \ 1 \right)$$
D.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{2} {3}， \ 1 \right)$$
2、['用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%设平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n_{1}}=( 1， 2，-2 )$$，平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n_{2}}=(-2，-4， k )$$，若$${{α}{/}{/}{β}}$$，则$${{k}{=}}$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{4}}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%设直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$相交，且$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}}$$，$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}}$$，若$$\langle\overrightarrow{a}， \overrightarrow{n} \rangle=\frac{2 \pi} {3}$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为（）
C
A.$$\frac{2 \pi} {3}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率40.0%若两个不同平面$${{α}{、}{β}}$$的法向量分别为$$\overrightarrow{u}=\ ( 1， \ 2， \ -1 ) \， \ \overrightarrow{v}=\ ( \ -2， \ 2， \ 2 )$$则（）
B
A.$${{α}{、}{β}}$$相交但不垂直
B.$${{α}{⊥}{β}}$$
C.$${{α}{/}{/}{β}}$$
D.以上均不正确
5、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%如图，在正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=2，$$直线$${{C}{{C}_{1}}}$$与平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$所成角的正弦值为$$\frac{1} {3}，$$则该正四棱柱的高为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
6、['空间中直线与平面的位置关系'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%设$$\vec{u}=( 2， 2，-1 )$$是平面$${{α}}$$的法向量，$$\vec{a}=(-3， 4， 2 )$$是直线$${{l}}$$的方向向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的位置关系是（）
A
A.平行或直线在平面内
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
7、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%如图，在棱长为$${{2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{E}{，}{F}}$$分别为棱$$A A_{1}， ~ B B_{1}$$的中点$${，{G}}$$为棱$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$上的一点，且$$A_{1} G=\lambda( 0 < \lambda< \ 2 )，$$则点$${{G}}$$到平面$${{D}_{1}{E}{F}}$$的距离为（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2} \lambda} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
8、['平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知空间直角坐标系中点$$A ~ ( 1， ~ 0， ~ 0 ) ~， ~ B ~ ( 2， ~ 0， ~ 1 ) ~， ~ C ~ ( 0， ~ 1， ~ 2 )$$，则平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量为（）
B
A.$$( \mathbf{\theta}-\mathbf{1}， \mathbf{\theta}-\mathbf{3}， \mathbf{\theta} 2 )$$
B.$$( \mathbf{1}， \mathbf{3}， \mathbf{-1} )$$
C.$$( 1， ~ 3， ~ 1 )$$
D.$$( \mathbf{\alpha}-1， \mathbf{\alpha} 3， \mathbf{\alpha} 1 )$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%在空间四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，向量$$\overrightarrow{A B}=\ ( 0， \ 2， \ -1 ) \， \ \overrightarrow{A C}=\ ( \ -1， \ 2， \ 0 ) \， \ \overrightarrow{A D}=\ ( 0-2， \ 0 )$$则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
10、['用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=( 1， 2， 2 )， \， \， \， A=( 1， 0， 2 )， \， \， \， B=( 0，-1， 4 )， \， \， \， A \notin\alpha， \， \， \， B \in\alpha$$，则点$${{A}}$$到平面$${{α}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
1. 首先计算向量 $$\overrightarrow{AB} = (-1, -1, 1)$$ 和 $$\overrightarrow{AC} = (2, -1, 0)$$。法向量 $$\boldsymbol{n}$$ 与这两个向量垂直，因此满足：
$$\begin{cases} \overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n} = -x - y + 1 = 0 \\ \overrightarrow{AC} \cdot \boldsymbol{n} = 2x - y = 0 \end{cases}$$
解得 $$x = \frac{1}{3}$$，$$y = \frac{2}{3}$$，所以法向量为 $$\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 \right)$$，选项 C 正确。
2. 平面平行意味着法向量成比例，即 $$\frac{-2}{1} = \frac{-4}{2} = \frac{k}{-2}$$，解得 $$k = 4$$，选项 D 正确。
3. 直线与平面所成的角 $$\theta$$ 与方向向量和法向量的夹角 $$\phi$$ 满足 $$\theta = \frac{\pi}{2} - \phi$$。已知 $$\phi = \frac{2\pi}{3}$$，因此 $$\theta = \frac{\pi}{2} - \left( \pi - \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{6}$$，选项 C 正确。
4. 计算法向量的点积 $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \times (-2) + 2 \times 2 + (-1) \times 2 = -2 + 4 - 2 = 0$$，说明两平面垂直，选项 B 正确。
5. 设正四棱柱的高为 $$h$$。建立坐标系，计算平面 $$ACD_1$$ 的法向量，利用直线 $$CC_1$$ 的方向向量 $$(0, 0, 1)$$ 与法向量的夹角正弦值为 $$\frac{1}{3}$$，解得 $$h = 4$$，选项 C 正确。
6. 计算方向向量与法向量的点积 $$\vec{a} \cdot \vec{u} = -6 + 8 - 2 = 0$$，说明直线与平面平行或直线在平面内，选项 A 正确。
7. 建立坐标系，计算平面 $$D_1EF$$ 的法向量，利用点到平面的距离公式，代入点 $$G$$ 的坐标，得到距离为 $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，选项 D 正确。
8. 计算向量 $$\overrightarrow{AB} = (1, 0, 1)$$ 和 $$\overrightarrow{AC} = (-1, 1, 2)$$，叉积得到法向量 $$(-1, -3, 1)$$，选项 B 正确。
9. 计算平面 $$ABC$$ 的法向量为 $$(2, 1, 2)$$，直线 $$AD$$ 的方向向量为 $$(0, -2, 0)$$，利用夹角公式得到正弦值为 $$\frac{2\sqrt{2}}{3}$$，选项 B 正确。
10. 利用点到平面的距离公式，计算 $$\overrightarrow{AB} = (-1, -1, 2)$$，距离为 $$\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|-1 - 2 + 4|}{3} = \frac{1}{3}$$，选项 C 正确。