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正确率40.0%已知四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$，$${{A}{B}{=}{B}{D}{=}{D}{A}{=}{2}}$$，$${{B}{C}{=}{C}{D}{=}{\sqrt {2}}}$$，现将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿$${{B}{D}}$$折起，设二面角$${{A}{−}{B}{D}{−}{C}}$$的平面角$$\theta\in[ \frac{\pi} {6}， \frac{5 \pi} {6} ]$$，则直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{D}}$$所成角的余弦值取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[-\frac{5 \sqrt{2}} {8}， \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt{2}} {8}， \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$
C.$$[ 0， \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$
D.$$[ 0， \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$
8、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率80.0%已知棱长为$${\sqrt {2}}$$的正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{P}}$$满足$$\overrightarrow{C P}=\lambda\overrightarrow{C D}+\mu\overrightarrow{C C_{1}}$$，其中$${{λ}{=}{[}{0}{，}{1}{]}}$$，$${{μ}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}{.}}$$当$${{B}_{1}{P}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$时，$${{|}{{B}_{1}}{P}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
我们先解析第3题：
1. 几何分析：四边形$$ABCD$$中，$$AB=BD=DA=2$$，说明$$△ABD$$是等边三角形。$$BC=CD=\sqrt{2}$$，说明$$△BCD$$是等腰三角形。
2. 折叠后的几何关系：将$$△ABD$$沿$$BD$$折起后，二面角$$A-BD-C$$的平面角为$$\theta$$。我们需要建立坐标系来计算向量夹角。
3. 坐标系设定：设$$BD$$在$$x$$轴上，中点$$O$$为原点。则点坐标如下： - 折叠前：$$A(0, \sqrt{3}, 0)$$，$$B(-1, 0, 0)$$，$$D(1, 0, 0)$$，$$C(0, y, z)$$。 - 折叠后：$$A$$的坐标变为$$A(0, \sqrt{3}\cos\theta, \sqrt{3}\sin\theta)$$，$$C$$的坐标满足$$BC=CD=\sqrt{2}$$，解得$$C(0, 1, 0)$$。
4. 向量计算：向量$$\overrightarrow{AB}=(-1, -\sqrt{3}\cos\theta, -\sqrt{3}\sin\theta)$$，向量$$\overrightarrow{CD}=(-1, -1, 0)$$。
5. 夹角余弦：两向量的夹角余弦为 $$\cos\phi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{1 + \sqrt{3}\cos\theta}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}\cos\theta}{2\sqrt{2}}$$。
6. 范围分析：$$\theta \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$$，故$$\cos\theta \in \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$。代入得 $$\cos\phi \in \left[\frac{1 - \frac{3}{2}}{2\sqrt{2}}, \frac{1 + \frac{3}{2}}{2\sqrt{2}}\right] = \left[-\frac{\sqrt{2}}{8}, \frac{5\sqrt{2}}{8}\right]$$。
7. 选项匹配：题目要求的是直线夹角的余弦值范围，即$$\cos\phi$$的绝对值范围，因此正确答案为$$[0, \frac{5\sqrt{2}}{8}]$$，对应选项D。
接下来解析第8题：
1. 坐标系设定：设正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的边长为$$\sqrt{2}$$，坐标如下： - $$A(0,0,0)$$，$$B(\sqrt{2},0,0)$$，$$C(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$$，$$D(0,\sqrt{2},0)$$， - $$A_1(0,0,\sqrt{2})$$，$$B_1(\sqrt{2},0,\sqrt{2})$$，$$C_1(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})$$，$$D_1(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$$。
2. 参数化点P：根据题意，$$\overrightarrow{CP} = \lambda \overrightarrow{CD} + \mu \overrightarrow{CC_1}$$，即 $$P = C + \lambda (D - C) + \mu (C_1 - C) = (\sqrt{2} - \lambda \sqrt{2}, \sqrt{2}, \mu \sqrt{2})$$。
3. 平面$$A_1BD$$的法向量：平面$$A_1BD$$由点$$A_1$$、$$B$$、$$D$$确定，其法向量为 $$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D} = (\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}) \times (0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2})$$。
4. 平行条件：$$B_1P$$与平面$$A_1BD$$平行，则$$B_1P$$与法向量$$\overrightarrow{n}$$垂直，即 $$\overrightarrow{B_1P} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$。 计算得： $$\overrightarrow{B_1P} = (-\lambda \sqrt{2}, \sqrt{2}, (\mu - 1)\sqrt{2})$$， 点积为$$-\lambda \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + (\mu - 1)\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2\lambda + 2 + 2(\mu - 1) = 0$$， 化简得$$\mu = \lambda$$。
5. 距离计算：$$P$$的坐标变为$$(\sqrt{2} - \lambda \sqrt{2}, \sqrt{2}, \lambda \sqrt{2})$$，$$B_1P$$的长度为 $$|B_1P| = \sqrt{(-\lambda \sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + (\lambda \sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{2\lambda^2 + 2 + 2(\lambda - 1)^2} = \sqrt{4\lambda^2 - 4\lambda + 4}$$。
6. 最小值求解：表达式$$4\lambda^2 - 4\lambda + 4$$在$$\lambda \in [0,1]$$的最小值出现在$$\lambda = \frac{1}{2}$$，此时值为$$3$$，因此$$|B_1P|_{\min} = \sqrt{3}$$，对应选项C。