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正确率40.0%在一个不大于$${{9}{0}^{∘}}$$的二面角的两个半平面内，与二面角的棱所在直线的方向向量垂直的两个向量分别为$$( 0， ~-1， ~ 3 )， ~ ( 2， ~ 2， ~ 4 )，$$则这个二面角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
3、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%已知两个平面的一个法向量分别是$$\boldsymbol{m}=( 1， ~ ~ 2， ~-1 )， ~ ~ \boldsymbol{n}=( 1， ~-1， ~ 0 )，$$则这两个平面的夹角的余弦值为（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{3}} {6}$$或$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$- \frac{\sqrt{3}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A D=A A_{1}=1， \， \， P$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）
A
A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$
C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%若长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=1， \， \， B C=C C_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， E， \， \， F， \， \， \， G$$分别为$$A D， ~ A B， ~ C_{1} D_{1}$$上的点，$$A E=E D， \， \， \， A F=F B， \， \， \， \overrightarrow{D_{1} G}=\lambda\overrightarrow{G C_{1}} ( \lambda\geqslant4 )$$分别记二面角$$G-E F-D_{1}， \， \， \， G-E F-C， \， \， \， G-F B-C$$的平面角为$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma，$$则
C
A.$$\gamma< \beta< \alpha$$
B.$$\beta< \gamma< \alpha$$
C.$$\alpha< \gamma< \beta$$
D.与$${{λ}}$$的值有关
8、['二面角'， '用空间向量研究两个平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$为正方体，则二面角$$B-A_{1} C_{1}-A$$的余弦值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt2} 3$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{E}}$$为$${{B}{{B}_{1}}}$$的中点，则平面$${{A}_{1}{E}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成的锐二面角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
2、二面角的余弦值可以通过两个半平面内的向量与棱的方向向量的关系求解。已知两个向量分别为 $$(0, -1, 3)$$ 和 $$(2, 2, 4)$$，首先计算它们的点积和模长：
二面角的余弦值为：
因此，答案为 A。
---3、两个平面的法向量分别为 $$\boldsymbol{m} = (1, 2, -1)$$ 和 $$\boldsymbol{n} = (1, -1, 0)$$。计算它们的点积和模长：
夹角的余弦值为：
由于夹角范围为 $$[0, 90^\circ]$$，取绝对值，答案为 D。
---4、在长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，分析各选项：
因此，错误的选项是 D。
---7、在长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，分析二面角的大小关系：
8、在正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，计算二面角 $$B-A_1C_1-A$$ 的余弦值：
10、在正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，计算平面 $$A_1ED$$ 与平面 $$ABCD$$ 所成的锐二面角的余弦值：