.jpg)
正确率60.0%已知向量$${{a}{，}{b}}$$是平面$${{α}}$$内的两个不相等的非零向量，非零向量$${{c}}$$是直线$${{l}}$$的一个方向向量，则“$${\bf c} \cdot{\bf a}=0$$且$$c \cdot b=0$$”是“$${{l}{⊥}{α}}$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$\boldsymbol{m}=( \boldsymbol{1}， \emph{}-2， \mathtt{} \， 3 )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( a， ~ b， ~-6 )，$$若$${{l}{⊥}{α}{，}}$$则（）
B
A.$$a-b=-2$$
B.$$a+b=2$$
C.$$a-2 b=1 8$$
D.$$a+2 b=1 8$$
3、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$${{m}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则“$$\boldsymbol{m} \cdot\boldsymbol{n}=0$$”是“$${{l}{/}{/}{α}}$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率40.0%在直三棱柱$$A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$$中$$B A \perp C A， \， \， \， A^{\prime} A=B A=C A，$$点$${{M}{，}{N}}$$分别是$$A C， \ A B$$的中点，过点$${{C}}$$作平面$${{α}{，}}$$使得$$\alpha/ \! / A^{\prime} \， M， \， \， \alpha/ \! / B^{\prime} \， N，$$若$$\alpha\cap B^{\prime} C^{\prime}=P，$$则$$\frac{C^{\prime} P} {P B^{\prime}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{1} {5}$$
5、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%如图所示，在矩形$${{A}{B}{C}{D}}$$中$$A B=1， \， \， \， B C=a， \， \， \， P A \perp$$平面$$A B C D，$$若在线段$${{B}{C}}$$上只有一个点$${{Q}}$$满足$$P Q \perp Q D，$$则$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['立体几何中的动态问题'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率40.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{1}{，}}$$动点$${{M}}$$在棱$${{C}{{C}_{1}}}$$上，动点$${{P}}$$在平面$$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$上，且$${{A}{P}{⊥}}$$平面$${{M}{B}{{D}_{1}}{，}}$$则$${{A}{P}}$$的长度的取值范围为（）
D
A.$$[ 1， ~ \sqrt{2} ]$$
B.$$[ 1， ~ \sqrt{3} ]$$
C.$$\left[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \sqrt{2} \right]$$
D.$$\left[ \frac{\sqrt6} {2}， ~ \sqrt2 \right]$$
7、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%平面$${{α}}$$经过三点$$A (-1， 0， 1 )， \， \， \， B ( 1， 1， 2 )， \， \， \， C ( 2，-1， 0 )$$则下列向量中与平面$${{α}}$$的法向量不垂直的是（）
D
A.$$( \frac{1} {2}，-1，-1 )$$
B.$$( 6，-2，-2 )$$
C.$$( 4， 2， 2 )$$
D.$$(-1， 1， 4 )$$
8、['立体几何中的探索问题'， '立体几何中的动态问题'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '棱柱、棱锥、棱台的体积'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率40.0%
如图，已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
9、['空间中直线与直线的位置关系'， '空间中直线与平面的位置关系'， '空间中平面与平面的位置关系'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%如图所示，正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$$a， \， \， \， M， N$$分别为$${{A}_{1}{B}}$$和$${{A}{C}}$$上的点，且$$A_{1} M=A N=\frac{a} {3}$$，则$${{M}{N}}$$与平面$${{B}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{C}}$$的位置关系是（）
B
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
10、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{O}}$$是底面$${{A}{B}{C}{D}}$$的中心，$${{M}{、}{N}}$$分别是棱$$D D_{1}， ~ D_{1} C_{1}$$的中点，则直线$${{O}{M}}$$（）
A
A.和$$A C \backslash M N$$都垂直
B.垂直于$${{A}{C}}$$，但不垂直于$${{M}{N}}$$
C.垂直于$${{M}{N}}$$，但不垂直于$${{A}{C}}$$
D.与$$A C \backslash M N$$都不垂直
1. 题目解析：
向量 $${\bf c}$$ 是直线 $$l$$ 的方向向量，平面 $$α$$ 的法向量可以由 $${\bf a}$$ 和 $${\bf b}$$ 的叉积得到。若 $${\bf c} \cdot {\bf a} = 0$$ 且 $${\bf c} \cdot {\bf b} = 0$$，则 $${\bf c}$$ 与平面 $$α$$ 的法向量平行，即 $$l \perp α$$。反过来也成立，因此是充要条件。
正确答案：$$C$$
2. 题目解析：
若 $$l \perp α$$，则直线 $$l$$ 的方向向量 $${\bf m} = (1, -2, 3)$$ 与平面 $$α$$ 的法向量 $${\bf n} = (a, b, -6)$$ 平行，即存在 $$k$$ 使得 $${\bf m} = k {\bf n}$$。解得 $$k = -\frac{1}{2}$$，故 $$a = -2$$，$$b = 4$$。验证选项，$$a - b = -6$$，$$a + b = 2$$，$$a - 2b = -10$$，$$a + 2b = 6$$，只有 $$a + b = 2$$ 正确。
正确答案：$$B$$
3. 题目解析：
若 $${\bf m} \cdot {\bf n} = 0$$，则直线 $$l$$ 的方向向量与平面 $$α$$ 的法向量垂直，说明 $$l$$ 平行于 $$α$$ 或 $$l$$ 在 $$α$$ 内。因此，$${\bf m} \cdot {\bf n} = 0$$ 是 $$l \parallel α$$ 的必要但不充分条件。
正确答案：$$B$$
4. 题目解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$A'(0,0,1)$$，$$B'(1,0,1)$$，$$C'(0,1,1)$$。中点 $$M(0,0.5,0)$$，$$N(0.5,0,0)$$。向量 $$A'M = (0,0.5,-1)$$，$$B'N = (-0.5,0,-1)$$。平面 $$α$$ 的法向量为 $$A'M \times B'N = (-0.5, -0.5, -0.25)$$。平面方程为 $$2x + 2y + z = d$$，代入 $$C(0,1,0)$$ 得 $$d = 2$$。求 $$α$$ 与 $$B'C'$$ 的交点 $$P$$，$$B'C'$$ 的参数方程为 $$(0,1,1) + t(-1,1,0)$$，代入平面方程得 $$t = \frac{1}{3}$$，故 $$P\left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, 1\right)$$，$$\frac{C'P}{PB'} = \frac{1}{2}$$。
正确答案：$$A$$
5. 题目解析：
设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,a,0)$$，$$D(0,a,0)$$，$$P(0,0,h)$$。点 $$Q(1,y,0)$$ 在 $$BC$$ 上，满足 $$PQ \perp QD$$，即 $$(1,y,-h) \cdot (-1,a-y,0) = 0$$，化简得 $$y^2 - a y + 1 = 0$$。要求只有一个解，判别式 $$a^2 - 4 = 0$$，故 $$a = 2$$。
正确答案：$$B$$
6. 题目解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$，$$M(1,1,t)$$（$$t \in [0,1]$$）。平面 $$MBD_1$$ 的法向量为 $$(t, t, -1)$$。点 $$P(x,y,1)$$ 满足 $$AP \perp$$ 平面 $$MBD_1$$，即 $$(x,y,1) \cdot (t,t,-1) = 0$$，得 $$x + y = \frac{1}{t}$$。$$AP$$ 的长度为 $$\sqrt{x^2 + y^2 + 1}$$，由约束条件可得 $$AP \in \left[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}\right]$$。
正确答案：$$D$$
7. 题目解析：
平面 $$α$$ 的法向量为 $$AB \times AC = (1,1,1) \times (3,-1,-1) = (0,4,-4)$$，即 $$(0,1,-1)$$。检查选项：$$D$$ 选项 $$(-1,1,4)$$ 与法向量的点积为 $$1 - 4 = -3 \neq 0$$，不垂直。
正确答案：$$D$$
8. 题目解析：
题目不完整，无法解析。
9. 题目解析：
建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(a,0,0)$$，$$C(a,a,0)$$，$$A_1(0,0,a)$$。点 $$M\left(\frac{a}{3},0,\frac{2a}{3}\right)$$，$$N\left(\frac{2a}{3},\frac{2a}{3},0\right)$$。向量 $$MN = \left(\frac{a}{3}, \frac{2a}{3}, -\frac{2a}{3}\right)$$。平面 $$BB_1C_1C$$ 的法向量为 $$(1,0,0)$$，$$MN$$ 与法向量的点积为 $$\frac{a}{3} \neq 0$$，故 $$MN$$ 与平面相交。
正确答案：$$A$$
10. 题目解析：
设正方体边长为 2，$$O(1,1,0)$$，$$M(0,0,1)$$，$$N(1,0,2)$$。向量 $$OM = (-1,-1,1)$$，$$AC = (-2,2,0)$$，$$MN = (1,0,1)$$。计算点积：$$OM \cdot AC = 0$$，$$OM \cdot MN = 0$$，故 $$OM$$ 与 $$AC$$ 和 $$MN$$ 都垂直。
正确答案：$$A$$