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正确率80.0%已知长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{B}{=}{3}}$$，$${{B}{C}{=}{2}}$$，$${{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，则异面直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{{D}_{1}}}$$的距离是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['用空间向量研究距离、夹角问题'， '多面体']正确率80.0%在平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{{A}_{1}}{=}{1}}$$，$$A B=A D=\sqrt{2}$$，且$$\angle A_{1} \， A D=\angle A_{1} \， A B=4 5^{\circ}$$，$$\angle D A B=6 0^{\， \circ}$$，则$$| B D_{1} |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
8、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率80.0%定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值$${{.}}$$在棱长为$${{1}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，直线$${{A}{C}}$$与$${{A}_{1}{D}}$$之间的距离是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
9、['用空间向量研究距离、夹角问题']正确率40.0%在正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{A}{{A}_{1}}{=}{4}}$$，$$A B=B C=2$$，动点$${{P}}$$，$${{Q}}$$分别在线段$${{C}_{1}{D}}$$，$${{A}{C}}$$上，则线段$${{P}{Q}}$$长度的最小值是$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{4} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {3}$$
3、异面直线距离解析：
在长方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$AB$$ 和 $$CD_1$$ 是异面直线。通过建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(3,0,0)$$，$$C(3,2,0)$$，$$D_1(0,2,1)$$。直线 $$AB$$ 的方向向量为 $$\vec{u}=(1,0,0)$$，直线 $$CD_1$$ 的方向向量为 $$\vec{v}=(-1,0,1)$$。两直线的距离公式为：
$$d = \frac{|\vec{AC} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$
计算得 $$\vec{u} \times \vec{v} = (0,1,0)$$，$$\vec{AC} = (3,2,0)$$，代入公式得 $$d = 2$$。因此答案为 $$C$$。
5、平行六面体距离解析：
在平行六面体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，已知 $$AA_1=1$$，$$AB=AD=\sqrt{2}$$，角度条件为 $$\angle A_1AD = \angle A_1AB = 45^\circ$$，$$\angle DAB = 60^\circ$$。利用向量法计算 $$BD_1$$ 的长度：
设 $$\vec{AB} = \vec{a}$$，$$\vec{AD} = \vec{b}$$，$$\vec{AA_1} = \vec{c}$$。则 $$\vec{BD_1} = \vec{c} - \vec{a} + \vec{b}$$。
计算模长：
$$|\vec{BD_1}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$
代入已知条件得 $$|\vec{BD_1}| = \sqrt{3}$$，因此答案为 $$C$$。
8、正方体异面直线距离解析：
在棱长为 $$1$$ 的正方体 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，直线 $$AC$$ 与 $$A_1D$$ 是异面直线。设 $$A(0,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，$$D(1,0,0)$$。直线 $$AC$$ 的方向向量为 $$\vec{u}=(1,1,0)$$，直线 $$A_1D$$ 的方向向量为 $$\vec{v}=(1,0,-1)$$。
两直线的距离公式为：
$$d = \frac{|\vec{AA_1} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$
计算得 $$\vec{u} \times \vec{v} = (-1,1,-1)$$，$$\vec{AA_1} = (0,0,1)$$，代入公式得 $$d = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。因此答案为 $$D$$。
9、正四棱柱线段最小值解析：
在正四棱柱 $$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$ 中，$$AA_1=4$$，$$AB=BC=2$$。设 $$P$$ 在 $$C_1D$$ 上，$$Q$$ 在 $$AC$$ 上。参数化 $$P$$ 和 $$Q$$ 的坐标：
设 $$P(2,t,4)$$（$$t \in [0,2]$$），$$Q(s,s,0)$$（$$s \in [0,2]$$）。距离平方为：
$$PQ^2 = (2-s)^2 + (t-s)^2 + 16$$
最小化 $$PQ$$ 需 $$s = t = 1$$，代入得 $$PQ = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$。因此答案为 $$D$$。