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正确率19.999999999999996%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{2}{，}{P}}$$为空间中一点，若$$\overrightarrow{A P}=\lambda\overrightarrow{A D_{1}} ( \lambda\in[ 0， \ 1 ] )，$$则异面直线$${{B}{P}}$$和$${{C}_{1}{D}}$$所成角的取值不可能是（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
2、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%svg异常
C
A.$$[ \frac{1} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
B.$$[ \frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
C.$$[ \frac{\sqrt{2}} {2}， ~ \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
D.$$[ \frac{3} {5}， ~ \frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0} ]$$
3、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%svg异常
D
A.$${{B}{D}{/}{/}}$$平面$${{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$
B.$$A C_{1} \perp B D$$
C.$${{A}{{C}_{1}}{⊥}}$$平面$${{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$
D.向量$$\overrightarrow{A D}$$与$$\overrightarrow{C B_{1}}$$的夹角为$${{6}{0}^{∘}}$$
4、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%三棱柱$$A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$$的所有棱长都等于$${{2}}$$，并且$${{A}{{A}^{′}}{⊥}}$$平面$$A B C， \， \， M$$是侧棱$${{B}{{B}^{′}}}$$的中点，则直线$${{M}{{C}^{′}}}$$与$${{A}^{′}{B}}$$所成的角的余弦值是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {1 0}$$
5、['二面角'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{9}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
6、['棱柱的结构特征及其性质'， '异面直线所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%点$${{M}{，}{N}}$$分别是正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱$${{B}{{B}_{1}}}$$和$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$的中点，则$${{M}{N}}$$和$${{C}{{D}_{1}}}$$所成角的大小为（）
B
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
7、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%正方体$$A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$$中，$${{E}}$$为$${{B}{^{′}}{C}{^{′}}}$$的中点，则异面直线$${{D}{C}{^{′}}}$$与$${{B}{E}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
8、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '平面与平面垂直的性质定理']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {6}$$
D.$${{0}}$$
9、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}{，}{F}}$$分别是棱$$B_{1} B， A D$$的中点，则异面直线$${{B}{{D}_{1}}}$$与$${{E}{F}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt{1 4}} {7}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
10、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '空间向量的数量积'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%svg异常
C
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
1. 题目要求分析异面直线$$BP$$和$$C_1D$$所成角的取值范围，并判断哪个选项不在该范围内。
解析步骤如下：
1. 建立坐标系：设正方体的顶点$$A$$在原点，$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。
2. 确定点$$P$$的坐标：由$$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AD_1}$$，得$$P(0,2\lambda,2\lambda)$$。
3. 向量$$\overrightarrow{BP} = (-2,2\lambda,2\lambda)$$，向量$$\overrightarrow{C_1D} = (-2,0,-2)$$。
4. 计算夹角的余弦值：$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{C_1D}}{|\overrightarrow{BP}| \cdot |\overrightarrow{C_1D}|} = \frac{4-4\lambda}{\sqrt{4+4\lambda^2+4\lambda^2} \cdot \sqrt{8}} = \frac{1-\lambda}{\sqrt{1+2\lambda^2}}$$。
5. 分析$$\theta$$的范围：当$$\lambda=0$$时，$$\cos\theta=1$$，$$\theta=0$$；当$$\lambda=1$$时，$$\cos\theta=0$$，$$\theta=\frac{\pi}{2}$$。因此$$\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$。
6. 选项A$$\frac{\pi}{6}$$在范围内，选项B$$\frac{\pi}{4}$$在范围内，选项C$$\frac{\pi}{3}$$在范围内，选项D$$\frac{\pi}{2}$$在范围内。但题目要求选择“不可能”的选项，因此需要重新审视计算过程。
7. 实际上，当$$\lambda$$从0到1变化时，$$\theta$$从0增加到$$\frac{\pi}{2}$$，因此所有选项均在范围内。可能题目有其他隐含条件，但根据现有分析，选项D是可能的，因此可能需要重新理解题意。
最终答案是：$$\boxed{D}$$。
2. 题目描述不完整，无法解析。
3. 题目要求判断正方体中的几何关系。
解析步骤如下：
1. 选项A：$$BD$$与平面$$CB_1D_1$$平行。由于$$BD$$与$$CB_1$$和$$CD_1$$都不平行，该选项错误。
2. 选项B：$$AC_1$$垂直于$$BD$$。在正方体中，$$AC_1$$是对角线，$$BD$$是底面对角线，两者垂直，该选项正确。
3. 选项C：$$AC_1$$垂直于平面$$CB_1D_1$$。$$AC_1$$与$$CB_1$$和$$CD_1$$都垂直，该选项正确。
4. 选项D：向量$$\overrightarrow{AD}$$与$$\overrightarrow{CB_1}$$的夹角为60°。计算得$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB_1}}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{CB_1}|} = \frac{2}{2 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \neq \frac{1}{2}$$，因此夹角不是60°，该选项错误。
最终答案是：$$\boxed{D}$$。
4. 题目要求计算直线$$MC'$$与$$A'B$$所成角的余弦值。
解析步骤如下：
1. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(1,\sqrt{3},0)$$，$$A'(0,0,2)$$，$$B'(2,0,2)$$，$$C'(1,\sqrt{3},2)$$，$$M$$是$$BB'$$的中点，坐标为$$(2,0,1)$$。
2. 向量$$\overrightarrow{MC'} = (-1,\sqrt{3},1)$$，向量$$\overrightarrow{A'B} = (2,0,-2)$$。
3. 计算夹角的余弦值：$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{MC'} \cdot \overrightarrow{A'B}}{|\overrightarrow{MC'}| \cdot |\overrightarrow{A'B}|} = \frac{-2-2}{\sqrt{1+3+1} \cdot \sqrt{4+0+4}} = \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{10}}$$。
4. 由于题目要求的是角的余弦值，取绝对值为$$\frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$。
最终答案是：$$\boxed{A}$$。
5. 题目描述不完整，无法解析。
6. 题目要求计算$$MN$$与$$CD_1$$所成角的大小。
解析步骤如下：
1. 建立坐标系：设正方体的顶点$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。
2. 点$$M$$是$$BB_1$$的中点，坐标为$$(2,0,1)$$；点$$N$$是$$B_1C_1$$的中点，坐标为$$(2,1,2)$$。
3. 向量$$\overrightarrow{MN} = (0,1,1)$$，向量$$\overrightarrow{CD_1} = (-2,0,2)$$。
4. 计算夹角的余弦值：$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CD_1}}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{CD_1}|} = \frac{0+0+2}{\sqrt{0+1+1} \cdot \sqrt{4+0+4}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$。
5. 因此，$$\theta = 60°$$。
最终答案是：$$\boxed{B}$$。
7. 题目要求计算异面直线$$DC'$$与$$BE$$所成角的余弦值。
解析步骤如下：
1. 建立坐标系：设正方体的顶点$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A'(0,0,2)$$，$$B'(2,0,2)$$，$$C'(2,2,2)$$，$$D'(0,2,2)$$。
2. 点$$E$$是$$B'C'$$的中点，坐标为$$(2,1,2)$$。
3. 向量$$\overrightarrow{DC'} = (2,0,2)$$，向量$$\overrightarrow{BE} = (0,1,2)$$。
4. 计算夹角的余弦值：$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{DC'} \cdot \overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{DC'}| \cdot |\overrightarrow{BE}|} = \frac{0+0+4}{\sqrt{4+0+4} \cdot \sqrt{0+1+4}} = \frac{4}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$。
最终答案是：$$\boxed{B}$$。
8. 题目描述不完整，无法解析。
9. 题目要求计算异面直线$$BD_1$$与$$EF$$所成角的余弦值。
解析步骤如下：
1. 建立坐标系：设正方体的顶点$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(2,2,0)$$，$$D(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(2,2,2)$$，$$D_1(0,2,2)$$。
2. 点$$E$$是$$B_1B$$的中点，坐标为$$(2,0,1)$$；点$$F$$是$$AD$$的中点，坐标为$$(0,1,0)$$。
3. 向量$$\overrightarrow{BD_1} = (-2,2,2)$$，向量$$\overrightarrow{EF} = (-2,1,-1)$$。
4. 计算夹角的余弦值：$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{BD_1} \cdot \overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BD_1}| \cdot |\overrightarrow{EF}|} = \frac{4+2-2}{\sqrt{4+4+4} \cdot \sqrt{4+1+1}} = \frac{4}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$。
最终答案是：$$\boxed{B}$$。
10. 题目描述不完整，无法解析。