用空间向量研究空间中直线、平面的平行-空间向量的应用知识点考前基础单选题自测题答案-辽宁省等高一数学选择必修,平均正确率78.0%

1、['用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$上有两点$${{A}{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}{，}{B}{(}{2}{，}{1}{，}{1}{)}{，}}$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{−}{3}{，}{2}{，}{m}{)}{，}}$$若$${{l}{/}{/}{α}{，}}$$则$${{m}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$$- \frac{5} {2}$$

2、['平面与平面垂直的判定定理'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{M}}$$是棱$${{C}_{1}{{D}_{1}}}$$(不含端点)上的动点$${，{N}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，则（）

A.$${{B}{D}{⊥}{A}{M}}$$

B.平面$${{A}_{1}{B}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{{D}_{1}}{M}}$$

C.$${{M}{N}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$

D.$${{C}{M}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$

4、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率80.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量是$${{a}{=}{(}{3}{，}{2}{，}{1}{)}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量是$${{u}{=}{(}{−}{1}{，}{2}{，}{−}{1}{)}{，}}$$则$${{l}}$$与$${{α}}$$的位置关系是（）

A.$${{l}{⊥}{α}}$$

B.$${{l}{/}{/}{α}}$$

C.$${{l}}$$与$${{α}}$$相交但不垂直

D.$${{l}{/}{/}{α}}$$或$${{l}}$$$${{⊂}}$$$${{α}}$$

7、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']

正确率60.0%

A.$${①{②}{③}}$$

B.$${②{③}{④}}$$

C.$${①{③}{④}}$$

D.$${①{②}{④}}$$

8、['空间直角坐标系'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{E}{，}{F}}$$分别在$${{A}_{1}{D}{，}{A}{C}}$$上，且$$A_{1} E=\frac{2} {3} A_{1} D， \， \， \， A F=\frac{1} {3} A C，$$则（）

A.$${{E}{F}}$$至多与$${{A}_{1}{D}{，}{A}{C}}$$中的一条垂直

B.$${{E}{F}{⊥}{{A}_{1}}{D}}$$且$${{E}{F}{⊥}{A}{C}}$$

C.$${{E}{F}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$相交

D.$${{E}{F}}$$与$${{B}{{D}_{1}}}$$异面

10、['用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{m}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{−}{8}{，}{1}{)}}$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=( x， \frac{1} {2}， 2 )$$，若$${{l}{/}{/}}$$平面$${{α}}$$，则$${{x}{=}}$$（）

A.$${{−}{8}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$

1. 已知直线$$l$$上有两点$$A(1,2,3)$$和$$B(2,1,1)$$，平面$$α$$的法向量为$$n=(-3,2,m)$$。若$$l \parallel α$$，则直线$$l$$的方向向量$$AB$$与法向量$$n$$垂直，即点积为零。

步骤1：求直线$$l$$的方向向量$$AB$$： $$AB = B - A = (2-1, 1-2, 1-3) = (1, -1, -2)$$

步骤2：计算$$AB$$与$$n$$的点积： $$AB \cdot n = (1)(-3) + (-1)(2) + (-2)(m) = -3 - 2 - 2m = -5 - 2m$$

步骤3：由$$l \parallel α$$，得$$AB \cdot n = 0$$： $$-5 - 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{5}{2}$$

答案：$$D$$

2. 在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$M$$是棱$$C_1D_1$$上的动点，$$N$$为$$BC$$的中点。

选项分析： - **A**：$$BD \perp AM$$不一定成立，因为$$AM$$的方向随$$M$$变化，无法保证垂直。 - **B**：平面$$A_1BD$$与平面$$AD_1M$$垂直，可通过法向量验证。 - **C**：$$MN \parallel$$平面$$A_1BD$$，因为$$MN$$与平面$$A_1BD$$的法向量垂直。 - **D**：$$CM$$与平面$$A_1BD$$不一定平行，因为$$CM$$的方向随$$M$$变化。

答案：$$C$$

4. 直线$$l$$的方向向量$$a=(3,2,1)$$，平面$$α$$的法向量$$u=(-1,2,-1)$$。

步骤1：计算$$a$$与$$u$$的点积： $$a \cdot u = (3)(-1) + (2)(2) + (1)(-1) = -3 + 4 - 1 = 0$$

步骤2：点积为零说明$$l \parallel α$$或$$l \subset α$$。

答案：$$D$$

8. 在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$E$$在$$A_1D$$上，$$F$$在$$AC$$上，且$$A_1E = \frac{2}{3}A_1D$$，$$AF = \frac{1}{3}AC$$。

步骤1：建立坐标系，设正方体边长为3，计算各点坐标： - $$A(0,0,0)$$，$$A_1(0,0,3)$$，$$D(3,0,0)$$，$$C(3,3,0)$$。 - $$E$$的坐标：$$E = A_1 + \frac{2}{3}(D - A_1) = (2,0,1)$$。 - $$F$$的坐标：$$F = A + \frac{1}{3}(C - A) = (1,1,0)$$。

步骤2：验证选项： - **B**：计算$$EF$$与$$A_1D$$、$$AC$$的点积均为0，说明$$EF$$与两者垂直。 - **C**：$$EF$$与$$BD_1$$相交于某点。

答案：$$B$$

10. 直线$$l$$的方向向量$$m=(-2,-8,1)$$，平面$$α$$的法向量$$n=(x, \frac{1}{2}, 2)$$。若$$l \parallel α$$，则$$m \cdot n = 0$$。

步骤1：计算点积： $$m \cdot n = (-2)(x) + (-8)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(2) = -2x - 4 + 2 = -2x - 2$$

步骤2：由$$l \parallel α$$，得$$-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$$。

答案：$$C$$

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