平面的法向量及其应用-1.4 空间向量的应用知识点月考进阶单选题自测题解析-广西壮族自治区等高一数学选择必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['必要不充分条件'， '平面的法向量及其应用'， '直线与平面平行的判定定理']

正确率60.0%已知$${{a}}$$为平面$${{α}}$$的法向量$${，{A}{，}{B}}$$是直线$${{b}}$$上的两点，则“$$a \cdot\overrightarrow{A B}=0$$”是“直线$${{b}{/}{/}}$$平面$${{α}}$$”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['平面与平面垂直的性质定理'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$，$${{F}}$$分别为$$A B， B C$$的中点，则（）

A.平面$$B_{1} E F \perp$$平面$${{B}{D}{{D}_{1}}}$$

B.平面$$B_{1} E F \perp$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$

C.平面$$B_{1} E F / /$$平面$${{A}_{1}{A}{C}}$$

D.平面$$B_{1} E F / /$$平面$${{A}_{1}{{C}_{1}}{D}}$$

3、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']

正确率60.0%设两不同直线$${{a}{，}{b}}$$的方向向量分别是$$\vec{e_{1}}， ~ \vec{e_{2}}，$$平面$${{α}}$$的法向量是$${{n}^{→}{，}}$$则下列推理 $\text{[math]}$ ；
其中正确的命题序号是（）

A.$${①{②}{③}}$$

B.$${②{③}{④}}$$

C.$${①{③}{④}}$$

D.$${①{②}{④}}$$

4、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究平面与平面之间的距离'， '用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%若正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{1}{，}}$$则平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$与平面$${{B}_{1}{C}{{D}_{1}}}$$间的距离为（）

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

5、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%如图所示，在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，}$$$$A D=A A_{1}=2， \， \， \， A B=4，$$点$${{E}}$$是棱$${{A}{B}}$$的中点，则点$${{E}}$$到平面$${{A}{C}{{D}_{1}}}$$的距离为（）

A.$${{1}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

6、['平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量是$$\boldsymbol{n}=\left( \frac{1} {2}，-1， \frac{1} {3} \right)$$，平面$${{β}}$$的一个法向量是$$\boldsymbol{m}=(-3， 6，-2 )$$，则平面$${{α}}$$与平面$${{β}}$$的位置关系是（）

A.平行

B.重合

C.平行或重合

D.垂直

7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']

正确率60.0%设直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{u}=(-2， 2， t )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{v}=( 6，-6， 1 2 )$$，若直线$${{l}{⊥}}$$平面$${{α}}$$，则实数$${{t}}$$等于（）

A.$${{4}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

8、['充分、必要条件的判定'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '直线与平面所成的角']

正确率60.0%设平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}}$$，直线$${{l}}$$的方向向量为$${{m}^{→}}$$，那么$$\4 < \overrightarrow{m}， ~ \overrightarrow{n} >=6 0^{\circ n}$$是$${{“}}$$直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$夹角为$${{3}{0}^{∘}{”}}$$的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

9、['平面的法向量及其应用']

正确率80.0%设平面$${{α}}$$的法向量为$$( 1，-2， \lambda)$$，平面$${{β}}$$的法向量为$$( 2， \mu， 4 )$$，若$${{α}{/}{/}{β}}$$，则$$\lambda+\mu=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{−}{4}}$$

10、['用空间向量研究距离、夹角问题'， '平面的法向量及其应用']

正确率80.0%设直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{v}^{→}}$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}^{→}}$$，平面$${{β}}$$的一个法向量为$${{m}^{→}}$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
①若$$\overrightarrow{v}， \overrightarrow{n}=3 0^{\circ}$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为$${{3}{0}{°}}$$；
②若$${{l}}$$与$${{α}}$$所成角为$${{6}{0}{°}}$$，则$$\overrightarrow{v}， \overrightarrow{n}=3 0^{\circ}$$；
③若$$\overrightarrow{m}， \overrightarrow{n}=6 0^{\， \circ}$$，则平面$${{α}}$$与$${{β}}$$所成的锐二面角为$${{6}{0}{°}}$$；
④若平面$${{α}}$$与$${{β}}$$所成的角为$${{6}{0}{°}}$$，则$$\overrightarrow{m}， \overrightarrow{n}=6 0^{\， \circ}$$

A.③

B.①③

C.②④

D.①③④

1. 解析：

已知$$a$$是平面$$α$$的法向量，$$A, B$$在直线$$b$$上。若$$a \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$，说明直线$$b$$与法向量$$a$$垂直，可能$$b \parallel α$$或$$b \subset α$$。反之，若$$b \parallel α$$，则必有$$a \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$。因此条件是必要的但不充分，选A。

2. 解析：

建立坐标系分析。设正方体边长为2，$$E(1,0,0)$$，$$F(2,1,0)$$，$$B_1(2,0,2)$$。平面$$B_1EF$$的法向量为$$\overrightarrow{n_1} = (2,2,-1)$$。平面$$BDD_1$$的法向量为$$\overrightarrow{n_2} = (1,-1,0)$$，点积为0，故垂直。验证其他选项不成立，选A。

3. 解析：

①正确，方向向量与法向量垂直则直线平行于平面；②错误，需排除直线在平面内；③正确，方向向量与法向量平行则直线垂直于平面；④正确，两方向向量平行则两直线平行。因此选D（①③④）。

4. 解析：

平面$$A_1BD$$与$$B_1CD_1$$平行。计算距离：建立坐标系，$$A_1(0,0,1)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，平面方程为$$x+y+z-1=0$$。同理$$B_1CD_1$$方程为$$x+y+z-2=0$$。距离为$$\frac{|2-1|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，选B。

5. 解析：

建立坐标系，$$E(2,0,0)$$，平面$$ACD_1$$方程为$$x+2y+2z-4=0$$。点$$E$$到平面距离为$$\frac{|2+0+0-4|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{2}{3}$$，选B。

6. 解析：

法向量$$\boldsymbol{n} = \left(\frac{1}{2},-1,\frac{1}{3}\right)$$，$$\boldsymbol{m} = (-3,6,-2)$$。显然$$\boldsymbol{m} = -6\boldsymbol{n}$$，故两平面平行或重合，选C。

7. 解析：

直线$$l \perp α$$，则方向向量$$\overrightarrow{u}$$与法向量$$\overrightarrow{v}$$平行。$$\frac{-2}{6} = \frac{2}{-6} = \frac{t}{12}$$，解得$$t = -4$$，选B。

8. 解析：

设$$\theta$$为直线与平面夹角，则$$\sin \theta = |\cos \langle \overrightarrow{m}, \overrightarrow{n} \rangle|$$。若$$\langle \overrightarrow{m}, \overrightarrow{n} \rangle = 60^\circ$$，则$$\theta = 30^\circ$$；但反之不唯一，故是充分不必要条件，选A。

9. 解析：

平面$$α \parallel β$$，则法向量成比例：$$\frac{1}{2} = \frac{-2}{\mu} = \frac{\lambda}{4}$$。解得$$\mu = -4$$，$$\lambda = 2$$，故$$\lambda + \mu = -2$$，选C。

10. 解析：

①错误，夹角应为$$60^\circ$$；②正确；③错误，二面角可能为$$60^\circ$$或$$120^\circ$$；④错误，法向量夹角可能为$$60^\circ$$或$$120^\circ$$。因此仅②正确，但选项无单独②，最接近的是C（②④），但④错误。题目可能有误，暂选C。

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