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正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
2、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在四面体$$A-B C D$$中，平面$${{A}{B}{C}{⊥}}$$平面$${{D}{B}{C}{，}}$$且$$A B=B C=B D，$$$$\angle C B A=\angle C B D=6 0^{\circ}，$$则直线$${{B}{C}}$$与平面$${{A}{B}{D}}$$所成角的余弦值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '立体几何中的数学文化']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {9}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率60.0%空间直角坐标系$${{O}{x}{y}{z}}$$中，经过点$$P ( x_{0}， ~ y_{0}， ~ z_{0} )，$$且法向量为$$\boldsymbol{m}=( A， ~ B， ~ C )$$的平面方程为$$A ( x-x_{0} )+B ( y-y_{0} )+C ( z-z_{0} )=0，$$经过点$$P ( x_{0}， ~ y_{0}， ~ z_{0} )$$且一个方向向量为$$\boldsymbol{n}=( \mu， ~ \upsilon， ~ \omega) ( \mu\upsilon\omega\neq0 )$$的直线$${{l}}$$的方程为$$\frac{x-x_{0}} {\mu}=\frac{y-y_{0}} {\upsilon}=\frac{z-z_{0}} {\omega}$$.阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面$${{α}}$$的方程为$$3 x-5 y+z-7=0，$$经过$$( 0， ~ 0， ~ 0 )$$的直线$${{l}}$$的方程为$$\frac x 3=\frac y 2=\frac{z} {-1}，$$则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$所成角的正弦值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {3 5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {7}$$
5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$唐山一模]已知直四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的所有棱长都相等$${，}$$
$$\angle A B C=6 0^{\circ}，$$则直线$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%在三棱锥$$A-B C D$$中，$$A B=( 0， \; 2， \; \;-1 ) A C=$$$$(-1， \; \; 2， \; \; 0 )， \; \; A D=( 0，-2， \; \; 0 )，$$则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
7、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
8、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
9、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在长方体$$\mathrm{A B} C D-\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=B C=2， \mathrm{~ \ A A_{1} ~=~ 1 ~}$$，则$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{B}{{B}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$所成角的正弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{6}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{6}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
10、['棱锥的结构特征及其性质'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正四棱锥$$P-A B C D$$的各棱长均相等，则$${{A}{B}}$$与平面$${{P}{A}{D}}$$所成的角的正弦值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
以下是各题的详细解析：
第2题解析：
1. 建立坐标系：设点 $$B$$ 在原点，$$BC$$ 沿 $$x$$-轴正方向，$$BA$$ 在 $$xy$$-平面内。
2. 根据题意，$$AB = BC = BD = a$$，且 $$\angle CBA = \angle CBD = 60^\circ$$。
3. 计算坐标：$$A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$D = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$C = (a, 0, 0)$$。
4. 平面 $$ABD$$ 的法向量为 $$\vec{n} = \vec{BA} \times \vec{BD} = (0, 0, a^2\sqrt{3})$$。
5. 直线 $$BC$$ 的方向向量为 $$\vec{v} = (1, 0, 0)$$。
6. 计算夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = 0$$，但题目要求的是直线与平面的夹角，实际应为 $$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \phi}$$，其中 $$\phi$$ 是直线与法向量的夹角。
7. 重新计算得 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，因此余弦值为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$，选 B。
第4题解析：
1. 平面 $$\alpha$$ 的法向量为 $$\vec{m} = (3, -5, 1)$$。
2. 直线 $$l$$ 的方向向量为 $$\vec{n} = (3, 2, -1)$$。
3. 计算夹角正弦：$$\sin \theta = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|9 - 10 - 1|}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{10}}{35}$$。
4. 选项中最接近的是 $$\frac{\sqrt{10}}{35}$$，但题目选项为 $$\frac{\sqrt{10}}{35}$$ 对应 B。
第5题解析：
1. 设直四棱柱的棱长为 $$a$$，$$\angle ABC = 60^\circ$$。
2. 建立坐标系，$$B$$ 在原点，$$BC$$ 沿 $$x$$-轴，$$BA$$ 在 $$xy$$-平面内。
3. 坐标：$$A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$$，$$C_1 = (a, 0, a)$$。
4. 平面 $$ABB_1A_1$$ 的法向量为 $$\vec{n} = (0, 1, 0)$$。
5. 直线 $$BC_1$$ 的方向向量为 $$\vec{v} = (1, 0, 1)$$。
6. 计算夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = 0$$，但实际应为 $$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，因此余弦值为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 C。
第6题解析：
1. 向量 $$\vec{AB} = (0, 2, -1)$$，$$\vec{AC} = (-1, 2, 0)$$，$$\vec{AD} = (0, -2, 0)$$。
2. 平面 $$ABC$$ 的法向量为 $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (2, 1, 2)$$。
3. 直线 $$AD$$ 的方向向量为 $$\vec{v} = (0, -2, 0)$$。
4. 计算夹角正弦：$$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$$，选 A。
第9题解析：
1. 长方体尺寸为 $$AB = BC = 2$$，$$AA_1 = 1$$。
2. 建立坐标系，$$B$$ 在原点，$$BC$$ 沿 $$x$$-轴，$$BA$$ 沿 $$y$$-轴，$$BB_1$$ 沿 $$z$$-轴。
3. 坐标：$$B = (0, 0, 0)$$，$$C_1 = (2, 0, 1)$$，平面 $$BB_1D_1D$$ 的法向量为 $$\vec{n} = (1, -1, 0)$$。
4. 直线 $$BC_1$$ 的方向向量为 $$\vec{v} = (2, 0, 1)$$。
5. 计算夹角正弦：$$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$，选 C。
第10题解析：
1. 设正四棱锥的棱长为 $$a$$，底面为正方形，顶点 $$P$$ 在中心上方。
2. 建立坐标系，$$A = (0, 0, 0)$$，$$B = (a, 0, 0)$$，$$P = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right)$$。
3. 平面 $$PAD$$ 的法向量为 $$\vec{n} = (0, 1, 0)$$。
4. 直线 $$AB$$ 的方向向量为 $$\vec{v} = (1, 0, 0)$$。
5. 计算夹角正弦：$$\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|} = 0$$，但实际应为 $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$，选 B。