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正确率40.0%在一个不大于$${{9}{0}^{∘}}$$的二面角的两个半平面内，与二面角的棱所在直线的方向向量垂直的两个向量分别为$${{(}{0}{，}{−}{1}{，}{3}{)}{，}{(}{2}{，}{2}{，}{4}{)}{，}}$$则这个二面角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
4、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%若直线$${{a}}$$的方向向量为$${{a}{，}}$$平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量分别为$${{n}{，}{m}{，}}$$则下列命题为假命题的是（）
B
A.若$${{a}{/}{/}{n}{，}}$$则直线$${{a}{⊥}}$$平面$${{α}}$$
B.若$${{a}{⊥}{n}{，}}$$则直线$${{a}{/}{/}}$$平面$${{α}}$$
C.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{a}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则直线$${{a}}$$与平面$${{α}}$$所成角的大小为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{m}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则平面$${{α}}$$与$${{β}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$
6、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}^{′}}{{B}^{′}}{{C}^{′}}{{D}^{′}}}$$中，二面角$${{A}{−}{{B}^{′}}{C}{−}{{D}^{′}}}$$的余弦值是（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
7、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%正$${{△}{A}{B}{C}}$$与正$${{△}{B}{C}{D}}$$所在平面垂直，则二面角$${{A}{−}{B}{D}{−}{C}}$$的正弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%若长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}{=}{1}{，}{B}{C}{=}{C}{{C}_{1}}{=}{\sqrt {2}}{，}{E}{，}{F}{，}{G}}$$分别为$${{A}{D}{，}{A}{B}{，}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$上的点，$$A E=E D， \， \， \， A F=F B， \， \， \， \overrightarrow{D_{1} G}=\lambda\overrightarrow{G C_{1}} ( \lambda\geqslant4 )$$分别记二面角$${{G}{−}{E}{F}{−}{{D}_{1}}{，}{G}{−}{E}{F}{−}{C}{，}{G}{−}{F}{B}{−}{C}}$$的平面角为$${{α}{，}{β}{，}{γ}{，}}$$则
C
A.$${{γ}{<}{β}{<}{α}}$$
B.$${{β}{<}{γ}{<}{α}}$$
C.$${{α}{<}{γ}{<}{β}}$$
D.与$${{λ}}$$的值有关
9、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知$${{u}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{2}{，}{0}{)}{，}{{v}^{→}}{=}{(}{6}{，}{6}{，}{4}{)}{，}{{u}^{→}}{，}{{v}^{→}}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的位置关系是（）
B
A.平行
B.垂直
C.所成的二面角为锐角
D.所成的二面角为钝角
10、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中平面与平面的位置关系'， '二面角'， '空间向量的数量积'， '用空间向量研究两个平面所成的角'， '空间向量数量积的性质']正确率60.0%二面角的棱上有$${{A}{、}{B}}$$两点，直线$${{A}{C}{、}{B}{D}}$$分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于$${{A}{B}}$$.已知$${{A}{B}{=}{4}{，}{A}{C}{=}{6}{，}{B}{D}{=}{8}{，}{C}{D}{=}{2}{\sqrt {{1}{7}}}}$$，则该二面角的大小为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
1. 题目解析：
已知二面角的两个半平面内的向量分别为 $$(0, -1, 3)$$ 和 $$(2, 2, 4)$$，且二面角不大于 $$90^\circ$$。求二面角的余弦值。
步骤如下：
1. 计算两个向量的点积：$$0 \times 2 + (-1) \times 2 + 3 \times 4 = -2 + 12 = 10$$。
2. 计算第一个向量的模：$$\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10}$$。
3. 计算第二个向量的模：$$\sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$。
4. 计算夹角的余弦值：$$\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{6}} = \frac{10}{2\sqrt{60}} = \frac{5}{\sqrt{60}} = \frac{5}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$$。
由于二面角不大于 $$90^\circ$$，余弦值为正，故答案为 $$\frac{\sqrt{15}}{6}$$。
正确答案：A。
4. 题目解析：
选项分析：
A. 若方向向量 $$a$$ 平行于法向量 $$n$$，则直线 $$a$$ 垂直于平面 $$\alpha$$，命题正确。
B. 若方向向量 $$a$$ 垂直于法向量 $$n$$，则直线 $$a$$ 平行于平面 $$\alpha$$ 或在平面内，命题不完全正确，为假命题。
C. 若 $$\cos \langle a, n \rangle = \frac{1}{2}$$，则直线 $$a$$ 与平面 $$\alpha$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{6}$$，命题正确。
D. 若 $$\cos \langle m, n \rangle = \frac{1}{2}$$，则平面 $$\alpha$$ 与 $$\beta$$ 的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，命题正确。
正确答案：B。
6. 题目解析：
在正方体中，二面角 $$A-B'C-D'$$ 的余弦值计算如下：
1. 建立坐标系，设正方体边长为 1。
2. 确定相关点的坐标：$$A(0,0,0)$$，$$B'(1,0,1)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D'(0,1,1)$$。
3. 计算平面 $$AB'C$$ 和 $$D'B'C$$ 的法向量。
4. 通过向量叉积和点积计算余弦值，结果为 $$-\frac{1}{3}$$。
正确答案：D。
7. 题目解析：
正三角形 $$ABC$$ 与 $$BCD$$ 所在平面垂直，求二面角 $$A-BD-C$$ 的正弦值。
1. 设边长为 1，建立坐标系。
2. 计算平面 $$ABD$$ 和 $$CBD$$ 的法向量。
3. 通过向量叉积和点积计算正弦值，结果为 $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$。
正确答案：C。
8. 题目解析：
在长方体中，二面角 $$G-EF-D_1$$、$$G-EF-C$$、$$G-FB-C$$ 的平面角分别为 $$\alpha$$、$$\beta$$、$$\gamma$$。
通过几何分析和向量计算，可以确定 $$\beta < \gamma < \alpha$$。
正确答案：B。
9. 题目解析：
已知平面法向量 $$u = (-2, 2, 0)$$ 和 $$v = (6, 6, 4)$$。
1. 计算点积：$$-2 \times 6 + 2 \times 6 + 0 \times 4 = -12 + 12 + 0 = 0$$。
2. 点积为零，说明两平面垂直。
正确答案：B。
10. 题目解析：
已知 $$AB = 4$$，$$AC = 6$$，$$BD = 8$$，$$CD = 2\sqrt{17}$$，求二面角大小。
1. 建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(4,0,0)$$。
2. 设二面角为 $$\theta$$，利用向量关系计算 $$\cos \theta$$。
3. 通过距离公式和向量运算，得到 $$\cos \theta = -\frac{1}{2}$$，故 $$\theta = 120^\circ$$。
正确答案：D。