空间中直线的方向向量与直线的向量表示-1.4 空间向量的应用知识点课后基础自测题答案-湖北省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['平面向量的概念'， '空间向量的相关概念'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '相反向量']

正确率60.0%下列说法中，错误的个数为（）
①在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，}$$$$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$$；
②若两个非零向量$$\overrightarrow{A B}$$与$$\overrightarrow{C D}$$满足$$\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{C D}，$$则$$\overrightarrow{A B}， \ \overrightarrow{C D}$$为相反向量;
③$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$$的充要条件是$${{A}}$$与$${{C}}$$重合$${，{B}}$$与$${{D}}$$重合；
④两直线的方向向量平行，则两直线平行.

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{0}}$$

2、['空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']

正确率60.0%已知两个异面直线的方向向量分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$且$$| \boldsymbol{a} |=| \boldsymbol{b} |=1，$$$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1} {2}，$$则两直线的夹角为（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{\pi} {3}$$

C.$$\frac{2 \pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

3、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']

正确率80.0%若两个不同平面$${{α}}$$、$${{β}}$$的法向量分别为$$\overrightarrow{u}=( 1， 2，-1 )$$，$$\overrightarrow{v}=(-2， 2， 2 )$$，则$${{(}{)}}$$

A.$${{α}}$$、$${{β}}$$相交但不垂直

B.$${{α}{⊥}{β}}$$

C.$${{α}{/}{/}{β}}$$

D.以上均不正确

4、['共面向量定理'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%若直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量分别为$$\overrightarrow{a}=( 1， 3， 2 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， 2，-4 )，$$则（）

A.$$l_{1} / / l_{2}$$

B.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$

C.$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$相交但不垂直

D.$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$异面但不垂直

5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，直线$${{A}_{1}{B}}$$和平面$$A_{1} B_{1} C D$$所成的角为（）

A.$$\frac{\pi} {1 2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\pi} {4}$$

D.$$\frac{\pi} {3}$$

6、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%设直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 2，-2 )，$$平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{b}=(-2， 3， m )，$$若$${{l}{/}{/}{α}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（$${）}$$．

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}^{→}{，}}$$则满足$${{l}{{/}{/}}{α}}$$的向量$${{a}^{→}}$$与$${{n}^{→}}$$可能为$${{(}{)}}$$

A.$$\vec{a}=( 1， \ 3， \ 5 )， \ \vec{n}=( 1， \ 0， \ 1 )$$

B.$$\vec{a}=( 1， ~ 0， ~ 0 )， ~ \vec{n}=(-2， ~ 0， ~ 0 )$$

C.$$\vec{a}=( 1， \;-1， \; 3 )， \; \vec{n}=( 0， \; 3， \; 1 )$$

D.$$\vec{a}=( 0， \ 2， \ 1 )， \ \vec{n}=(-1， \ 0， \ -1 )$$

8、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%若两条不重合直线$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$的方向向量分别为$$\overrightarrow{v_{1}}=( 1， 0，-1 )$$，$$\overrightarrow{v_{2}}=(-2， 0， 2 )$$，则$${{l}_{1}}$$和$${{l}_{2}}$$的位置关系是（）

A.平行

B.相交

C.垂直

D.不确定

9、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=( 3，-2，-1 )$$是直线$${{l}}$$的方向向量，$$\overrightarrow{n}=( 1， 2，-1 )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则（）

A.$${{l}{⊥}{α}}$$

B.$${{l}{/}{/}{α}}$$

C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{⊥}{α}}$$

D.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$

10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示']

正确率80.0%直线$$2 x-y+1=0$$的一个方向向量是

A.$$( 2， 1 )$$

B.$$( 1，-2 )$$

C.$$(-1， 2 )$$

D.$$(-1，-2 )$$

1. 解析：

① 正确，正方体中 $$\overrightarrow{A C}$$ 和 $$\overrightarrow{A_{1} C_{1}}$$ 方向相同，大小相等。

② 正确，$$\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{C D}$$ 说明两向量大小相等，方向相反，是相反向量。

③ 错误，$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}$$ 只要求方向和大小相同，不要求端点重合。

④ 错误，两直线的方向向量平行时，可能平行也可能重合。

因此错误的个数是 2 个，选 B。

2. 解析：

两直线的夹角 $$\theta$$ 满足 $$\cos \theta = \frac{|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2}$$，所以 $$\theta = \frac{\pi}{3}$$，选 B。

3. 解析：

计算法向量的点积：$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \times (-2) + 2 \times 2 + (-1) \times 2 = -2 + 4 - 2 = 0$$，说明两平面垂直，选 B。

4. 解析：

计算方向向量的点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \times 2 + 3 \times 2 + 2 \times (-4) = 2 + 6 - 8 = 0$$，说明两直线垂直，选 B。

5. 解析：

设正方体边长为 1，直线 $$A_1 B$$ 的方向向量为 $$\overrightarrow{A_1 B} = (0, 1, -1)$$，平面 $$A_1 B_1 C D$$ 的法向量为 $$\overrightarrow{n} = (0, 1, 0)$$。夹角 $$\theta$$ 满足 $$\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{A_1 B} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A_1 B}||\overrightarrow{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，所以 $$\theta = \frac{\pi}{4}$$，选 C。

6. 解析：

若 $$l \parallel \alpha$$，则 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即 $$1 \times (-2) + 2 \times 3 + (-2) \times m = 0$$，解得 $$m = 2$$，选 B。

7. 解析：

若 $$l \parallel \alpha$$，则 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$。计算选项：

A：$$1 \times 1 + 3 \times 0 + 5 \times 1 = 6 \neq 0$$；

B：$$1 \times (-2) + 0 \times 0 + 0 \times 0 = -2 \neq 0$$；

C：$$1 \times 0 + (-1) \times 3 + 3 \times 1 = 0$$；

D：$$0 \times (-1) + 2 \times 0 + 1 \times (-1) = -1 \neq 0$$。

只有 C 满足，选 C。

8. 解析：

$$\overrightarrow{v_2} = -2 \overrightarrow{v_1}$$，说明两向量平行，因此两直线平行，选 A。

9. 解析：

计算 $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} = 3 \times 1 + (-2) \times 2 + (-1) \times (-1) = 3 - 4 + 1 = 0$$，说明直线与平面平行或直线在平面内，选 D。

10. 解析：

直线 $$2x - y + 1 = 0$$ 的斜率为 2，方向向量为 $$(1, 2)$$ 或其倍数。选项中 $$(1, -2)$$ 是 $$(1, 2)$$ 的相反方向，选 B。

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