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正确率60.0%在四棱锥$$P-A B C D$$中$${，{P}{A}{⊥}}$$平面$$A B C D，$$四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$是矩形，且$$A B=3， \， \， \， A D=4， \， \， \， P A=\frac{4 \sqrt{3}} {5}，$$则平面$${{A}{B}{C}{D}}$$与平面$${{P}{B}{D}}$$所成角的大小为（）
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{7}{5}^{∘}}$$
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中平面与平面的位置关系'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '空间向量共线定理']正确率80.0%两个不重合平面的法向量分别为$$\boldsymbol{v}_{1}=( 1， ~ 0， ~-1 )， ~ \boldsymbol{v}_{2}=(-2， ~ 0， ~ 2 )，$$则这两个平面的位置关系是（）
A
A.平行
B.相交不垂直
C.垂直
D.以上都不对
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若平面$${{α}{⊥}}$$平面$${{β}{，}}$$且平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=\left(-2， ~ 1， ~ \frac{1} {2} \right)，$$则平面$${{β}}$$的法向量可以是（）
C
A.$$\left(-1， \frac{1} {2}， \frac{1} {4} \right)$$
B.$$( 2， ~-1， ~ 0 )$$
C.$$( 1， ~ 2， ~ 0 )$$
D.$$\left( \frac{1} {2}， 1， 2 \right)$$
6、['平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知空间直角坐标系中点$$A ~ ( 1， ~ 0， ~ 0 ) ~， ~ B ~ ( 2， ~ 0， ~ 1 ) ~， ~ C ~ ( 0， ~ 1， ~ 2 )$$，则平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量为（）
B
A.$$( \mathbf{\theta}-\mathbf{1}， \mathbf{\theta}-\mathbf{3}， \mathbf{\theta} 2 )$$
B.$$( \mathbf{1}， \mathbf{3}， \mathbf{-1} )$$
C.$$( 1， ~ 3， ~ 1 )$$
D.$$( \mathbf{\alpha}-1， \mathbf{\alpha} 3， \mathbf{\alpha} 1 )$$
7、['用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用'， '空间向量共线定理']正确率60.0%平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 2，-2 )，$$平面$${{β}}$$的法向量$$\overrightarrow{b}=(-2， h， k )，$$若$$\alpha/ / \beta，$$则$${{h}{+}{k}}$$的值为 （）
C
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{6}}$$
8、['棱锥的结构特征及其性质'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}{⊥}}$$平面$$A B C， \， \， \angle B A C=9 0^{\circ}， \， \， \， D， E， F$$分别是棱$$A B， B C， C P$$的中点，$$A B=A C=1， \， \， \， P A=2$$，则直线$${{P}{A}}$$与平面$${{D}{E}{F}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{1} {5}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
9、['平面的法向量及其应用']正确率80.0%在平面$${{A}{B}{C}}$$中，$$A ( 0， 1， 1 )$$，$$B ( 1， 2， 1 )$$，$$C (-1， 0，-1 )$$，若$$\overrightarrow{a}=(-1， y， z )$$，且$${{a}^{→}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量，则$$y+z=( \eta)$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{m}=( 3，-1， 2 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=( 2， 3，-1 )$$，则$${{(}{)}}$$
D
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
1. 解析：
首先确定几何关系。四棱锥$$P-ABCD$$中，$$PA \perp$$平面$$ABCD$$，且$$ABCD$$为矩形。已知$$AB=3$$，$$AD=4$$，$$PA=\frac{4\sqrt{3}}{5}$$。求平面$$ABCD$$与平面$$PBD$$的夹角。
步骤如下：
1. 建立坐标系：设$$A$$为原点，$$AB$$沿$$x$$轴，$$AD$$沿$$y$$轴，$$AP$$沿$$z$$轴。
2. 点坐标：$$A(0,0,0)$$，$$B(3,0,0)$$，$$D(0,4,0)$$，$$P(0,0,\frac{4\sqrt{3}}{5})$$。
3. 平面$$ABCD$$的法向量为$$\mathbf{n}_1 = (0,0,1)$$。
4. 平面$$PBD$$的法向量$$\mathbf{n}_2$$通过向量$$\overrightarrow{BD} = (-3,4,0)$$和$$\overrightarrow{BP} = (-3,0,\frac{4\sqrt{3}}{5})$$的叉积得到：
$$\mathbf{n}_2 = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BP} = \left(4 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{5} - 0 \cdot 0, 0 \cdot (-3) - (-3) \cdot \frac{4\sqrt{3}}{5}, (-3) \cdot 0 - 4 \cdot (-3)\right) = \left(\frac{16\sqrt{3}}{5}, \frac{12\sqrt{3}}{5}, 12\right)$$
5. 计算夹角：$$\cos \theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|} = \frac{12}{\sqrt{\left(\frac{16\sqrt{3}}{5}\right)^2 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{5}\right)^2 + 12^2}} = \frac{12}{\sqrt{\frac{768}{25} + \frac{432}{25} + 144}} = \frac{12}{\sqrt{48 + 144}} = \frac{12}{\sqrt{192}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
因此，$$\theta = 30^\circ$$。
答案：A
2. 解析：
已知两平面的法向量$$\mathbf{v}_1 = (1,0,-1)$$和$$\mathbf{v}_2 = (-2,0,2)$$。
由于$$\mathbf{v}_2 = -2 \mathbf{v}_1$$，两法向量平行，故两平面平行。
答案：A
5. 解析：
平面$$\alpha \perp \beta$$，且$$\alpha$$的法向量为$$\mathbf{n} = (-2,1,\frac{1}{2})$$，则$$\beta$$的法向量必须与$$\mathbf{n}$$垂直。
验证选项：
A. $$\mathbf{n} \cdot (-1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}) = (-2)(-1) + 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \neq 0$$
B. $$\mathbf{n} \cdot (2,-1,0) = (-2)(2) + 1(-1) + \frac{1}{2}(0) = -4 -1 +0 = -5 \neq 0$$
C. $$\mathbf{n} \cdot (1,2,0) = (-2)(1) + 1(2) + \frac{1}{2}(0) = -2 + 2 + 0 = 0$$
D. $$\mathbf{n} \cdot (\frac{1}{2},1,2) = (-2)(\frac{1}{2}) + 1(1) + \frac{1}{2}(2) = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$$
只有选项C满足垂直条件。
答案：C
6. 解析：
已知点$$A(1,0,0)$$，$$B(2,0,1)$$，$$C(0,1,2)$$，求平面$$ABC$$的法向量。
步骤如下：
1. 向量$$\overrightarrow{AB} = (1,0,1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-1,1,2)$$。
2. 法向量$$\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (-1, -3, 1)$$。
3. 选项中$$(-1,-3,1)$$对应选项B。
答案：B
7. 解析：
平面$$\alpha \parallel \beta$$，法向量$$\mathbf{a} = (1,2,-2)$$，$$\mathbf{b} = (-2,h,k)$$。
由于两平面平行，法向量成比例，即$$\frac{-2}{1} = \frac{h}{2} = \frac{k}{-2}$$，解得$$h = -4$$，$$k = 4$$。
因此，$$h + k = 0$$。
答案：C
8. 解析：
三棱锥$$P-ABC$$中，$$PA \perp$$平面$$ABC$$，$$\angle BAC = 90^\circ$$，$$AB=AC=1$$，$$PA=2$$。点$$D,E,F$$分别为$$AB,BC,CP$$的中点。
步骤如下：
1. 建立坐标系：设$$A$$为原点，$$AB$$沿$$x$$轴，$$AC$$沿$$y$$轴，$$AP$$沿$$z$$轴。
2. 点坐标：$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$P(0,0,2)$$。
3. 中点坐标：$$D(\frac{1}{2},0,0)$$，$$E(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$$，$$F(0,\frac{1}{2},1)$$。
4. 向量$$\overrightarrow{DE} = (0,\frac{1}{2},0)$$，$$\overrightarrow{DF} = (-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$$。
5. 平面$$DEF$$的法向量$$\mathbf{n} = \overrightarrow{DE} \times \overrightarrow{DF} = \left(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}, 0 \cdot (-\frac{1}{2}) - 0 \cdot 1, 0 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{4}\right)$$。
6. 直线$$PA$$的方向向量为$$\overrightarrow{PA} = (0,0,-2)$$。
7. 夹角正弦值：$$\sin \theta = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{PA}|}{|\mathbf{n}| \cdot |\overrightarrow{PA}|} = \frac{|\frac{1}{4} \cdot (-2)|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} \cdot 2} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{16}} \cdot 2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{4} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$。
答案：A
9. 解析：
已知点$$A(0,1,1)$$，$$B(1,2,1)$$，$$C(-1,0,-1)$$，法向量$$\mathbf{a} = (-1,y,z)$$。
步骤如下：
1. 向量$$\overrightarrow{AB} = (1,1,0)$$，$$\overrightarrow{AC} = (-1,-1,-2)$$。
2. 法向量$$\mathbf{a}$$必须满足$$\mathbf{a} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$和$$\mathbf{a} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$。
3. 得到方程组：
$$-1 \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = -1 + y = 0 \Rightarrow y = 1$$
$$-1 \cdot (-1) + y \cdot (-1) + z \cdot (-2) = 1 - y - 2z = 0 \Rightarrow 1 - 1 - 2z = 0 \Rightarrow z = 0$$
4. 因此，$$y + z = 1 + 0 = 1$$。
答案：B
10. 解析：
直线$$l$$的方向向量$$\mathbf{m} = (3,-1,2)$$，平面$$\alpha$$的法向量$$\mathbf{n} = (2,3,-1)$$。
计算点积：$$\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 6 - 3 - 2 = 1 \neq 0$$，故直线与平面不垂直。
由于$$\mathbf{m}$$与$$\mathbf{n}$$不成比例，直线与平面斜交。
答案：D