用空间向量研究空间中直线、平面的平行-1.4 空间向量的应用知识点课后基础选择题自测题答案-陕西省等高一数学选择必修,平均正确率78.0%

正确率80.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{u}_{\mathbf{1}}=(-3， ~ y， ~ 2 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{u}_{\mathbf{2}}=( \boldsymbol{6}， ~-2， ~ z )，$$且$$\alpha/ / \beta，$$则$${{y}{+}{z}}$$的值是（）

A

A.$${{−}{3}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$${{m}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则“$$\boldsymbol{m} \cdot\boldsymbol{n}=0$$”是“$${{l}{/}{/}{α}}$$”的（）

C

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

正确率80.0%若直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{m}{，}}$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}{，}}$$则能使$${{l}{/}{/}{α}}$$的条件可以是（）

D

A.$$\boldsymbol{m}=( 1， ~ 0， ~ 0 )， ~ \boldsymbol{n}=(-2， ~ 0， ~ 0 )$$

B.$$\boldsymbol{m}=( 1， \enskip3， \enskip5 )， \enskip\boldsymbol{n}=( 1， \enskip0， \enskip1 )$$

C.$$\boldsymbol{m}=( 0， ~ 2， ~ 1 )， ~ ~ \boldsymbol{n}=(-1， ~ 0， ~-1 )$$

D.$$\boldsymbol{m}=( 1， ~-1， ~ 3 )， ~ \boldsymbol{n}=( 0， ~ 3， ~ 1 )$$

正确率60.0%已知直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$且$$\boldsymbol{a}=( \lambda+1， 0， 2 )， \， \， \， \boldsymbol{b}=( 6， 2 \mu-1， 2 \lambda)，$$若$$l_{1} / / l_{2}，$$则$${{λ}}$$与$${{μ}}$$的值可以分别是（）

A

A.$$2， ~ \frac{1} {2}$$

B.$$- \frac{1} {3}， \ \frac{1} {2}$$

C.$${{−}{3}{，}{2}}$$

D.$${{2}{，}{2}}$$

正确率60.0%已知$$\overrightarrow{u}=(-2， 2， 0 )， \; \; \overrightarrow{v}=( 6， 6， 4 )， \; \; \overrightarrow{u}， \; \; \overrightarrow{v}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的位置关系是（）

B

A.平行

B.垂直

C.所成的二面角为锐角

D.所成的二面角为钝角

正确率60.0%若直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， ~ 0， ~ 2 )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， ~ 0， ~-4 )，$$则（）

B

A.$${{l}{/}{/}{α}}$$

B.$${{l}{⊥}{α}}$$

C.$${{l}{⊂}{α}}$$

D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交

正确率80.0%若平面$${{α}{⊥}{β}}$$，且平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 1， \frac{1} {2} )$$，则平面$${{β}}$$的法向量可以是$${{(}}$$$${{)}}$$

C

A.$$(-1， \frac{1} {2}， \frac{1} {4} )$$

B.$$( 2，-1， 0 )$$

C.$$( 1， 2， 0 )$$

D.$$( \frac{1} {2}， 1， 2 )$$

1. 由于平面$$α$$与$$β$$平行，其法向量$$\boldsymbol{u}_1$$和$$\boldsymbol{u}_2$$必须成比例关系。设$$\boldsymbol{u}_1 = k \boldsymbol{u}_2$$，则： $$-3 = 6k, \quad y = -2k, \quad 2 = zk.$$ 解得$$k = -\frac{1}{2}$$，代入得$$y = 1$$，$$z = -4$$。因此$$y + z = -3$$，选A。

2. 若$$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0$$，说明直线$$l$$的方向向量与平面$$α$$的法向量垂直，此时$$l$$可能与$$α$$平行，也可能在$$α$$内。反之，若$$l \parallel α$$，则必有$$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0$$。因此条件是必要不充分，选C。

3. 要使$$l \parallel α$$，需$$\boldsymbol{m}$$与$$\boldsymbol{n}$$垂直，即$$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0$$。计算各选项的点积： A: $$1 \times (-2) + 0 \times 0 + 0 \times 0 = -2 \neq 0$$； B: $$1 \times 1 + 3 \times 0 + 5 \times 1 = 6 \neq 0$$； C: $$0 \times (-1) + 2 \times 0 + 1 \times (-1) = -1 \neq 0$$； D: $$1 \times 0 + (-1) \times 3 + 3 \times 1 = 0$$。 只有D满足条件，选D。

7. 若$$l_1 \parallel l_2$$，则方向向量$$\boldsymbol{a}$$和$$\boldsymbol{b}$$成比例，即存在$$k$$使得$$\boldsymbol{a} = k \boldsymbol{b}$$。因此： $$\lambda + 1 = 6k, \quad 0 = (2\mu - 1)k, \quad 2 = 2\lambda k.$$ 由第三式得$$k = \frac{1}{\lambda}$$，代入第一式得$$\lambda + 1 = \frac{6}{\lambda}$$，解得$$\lambda = 2$$或$$\lambda = -3$$。 若$$\lambda = 2$$，则$$k = \frac{1}{2}$$，代入第二式得$$0 = (2\mu - 1) \times \frac{1}{2}$$，解得$$\mu = \frac{1}{2}$$； 若$$\lambda = -3$$，则$$k = -\frac{1}{3}$$，代入第二式得$$0 = (2\mu - 1) \times (-\frac{1}{3})$$，解得$$\mu = \frac{1}{2}$$。 因此选项A和B均符合，选A或B。

8. 计算向量$$\overrightarrow{u}$$和$$\overrightarrow{v}$$的点积： $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-2) \times 6 + 2 \times 6 + 0 \times 4 = -12 + 12 + 0 = 0.$$ 由于点积为0，说明两法向量垂直，因此平面$$α$$与$$β$$垂直，选B。

9. 由于$$\overrightarrow{n} = -2 \overrightarrow{a}$$，说明方向向量$$\overrightarrow{a}$$与法向量$$\overrightarrow{n}$$平行，因此直线$$l$$与平面$$α$$垂直，选B。

10. 由于$$α \perp β$$，两平面的法向量$$\overrightarrow{n}_α$$和$$\overrightarrow{n}_β$$需满足$$\overrightarrow{n}_α \cdot \overrightarrow{n}_β = 0$$。计算各选项与$$\overrightarrow{n} = (-2, 1, \frac{1}{2})$$的点积： A: $$(-2) \times (-1) + 1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = 2 + 0.5 + 0.125 = 2.625 \neq 0$$； B: $$(-2) \times 2 + 1 \times (-1) + \frac{1}{2} \times 0 = -4 -1 + 0 = -5 \neq 0$$； C: $$(-2) \times 1 + 1 \times 2 + \frac{1}{2} \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0$$； D: $$(-2) \times \frac{1}{2} + 1 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$$。 只有C满足条件，选C。