平面的法向量及其应用-空间向量的应用知识点回顾基础单选题自测题解析-江西省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

正确率60.0%已知平面$${{α}}$$内有一点$${{M}{（}{1}{，}{−}{1}{，}{2}{）}}$$，平面$${{α}}$$的一个法向量$${{n}^{→}{=}{（}{2}{，}{−}{1}{，}{2}{）}{，}}$$则下列点$${{P}}$$在平面$${{α}}$$内的是（）

C

A.$${（{−}{4}{，}{4}{，}{0}{）}}$$

B.$${（{2}{，}{0}{，}{1}{）}}$$

C.$${（{2}{，}{3}{，}{3}{）}}$$

D.$${（{3}{，}{−}{3}{，}{4}{）}}$$

正确率60.0%已知平面$${{α}{，}{β}}$$的一个法向量分别为$${{a}^{→}{=}{(}{2}{，}{3}{，}{λ}{)}{，}{{b}^{→}}{=}{(}{4}{，}{μ}{，}{−}{2}{)}}$$(其中$${{λ}{，}{μ}{∈}{R}{)}{，}}$$若$${{α}{/}{/}{β}{，}}$$则$${{λ}{+}{μ}}$$的值为（）

D

A.$$- \frac{5} {2}$$

B.$${{−}{5}}$$

C.$$\frac{5} {2}$$

D.$${{5}}$$

正确率60.0%已知直线$${{l}}$$过点$${{P}{(}{1}{，}{0}{，}{−}{1}{)}}$$，且$${{l}}$$的方向向量平行于向量$${{a}{=}{(}{2}{，}{1}{，}{1}{)}}$$，平面$${{α}}$$过直线$${{l}}$$与点$${{M}{(}{1}{，}{2}{，}{3}{)}{，}}$$则平面$${{α}}$$的法向量不可能是（）

D

A.$${{(}{1}{，}{−}{4}{，}{2}{)}}$$

B.$$\left( \frac{1} {4}，-1， \frac{1} {2} \right)$$

C.$$\left(-\frac1 4， 1，-\frac1 2 \right)$$

D.$${{(}{0}{，}{−}{1}{，}{1}{)}}$$

正确率60.0%已知平面$${{α}}$$内的三点$${{A}{(}{0}{，}{0}{，}{1}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{1}{，}{0}{)}{，}}$$$${{C}{(}{1}{，}{0}{，}{0}{)}{，}}$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{−}{1}{，}{−}{1}{，}{−}{1}{)}{，}}$$且$${{β}}$$与$${{α}}$$不重合，则（）

A

A.$${{α}{/}{/}{β}}$$

B.$${{α}{⊥}{β}}$$

C.$${{α}}$$与$${{β}}$$相交但不垂直

D.以上都不对

正确率60.0%设$${{a}{=}{(}{3}{，}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$是直线$${{l}}$$的方向向量$${，}$$$${{n}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{−}{1}{)}}$$是平面$${{α}}$$的法向量，则（）

C

A.$${{l}{⊥}{α}}$$

B.$${{l}{/}{/}{α}}$$

C.$${{l}{/}{/}{α}}$$或$${{l}{⊂}{α}}$$

D.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{⊥}{α}}$$

正确率60.0%已知平面$${{α}}$$内有一个点$${{A}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{2}{)}{，}{α}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{3}{，}{1}{，}{2}{)}{，}}$$则下列点$${{P}}$$中，在平面$${{α}}$$内的是（）

B

A.$${{P}{(}{1}{，}{−}{1}{，}{1}{)}}$$

B.$$P \left( 1， 3， \frac{3} {2} \right)$$

C.$$P \left( 1，-3， \frac{3} {2} \right)$$

D.$$P \left(-1， 3，-\frac{3} {2} \right)$$

正确率40.0%若长方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，$${{A}{B}{=}{1}{，}{B}{C}{=}{C}{{C}_{1}}{=}{\sqrt {2}}{，}{E}{，}{F}{，}{G}}$$分别为$${{A}{D}{，}{A}{B}{，}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$上的点，$$A E=E D， \， \， \， A F=F B， \， \， \， \overrightarrow{D_{1} G}=\lambda\overrightarrow{G C_{1}} ( \lambda\geqslant4 )$$分别记二面角$${{G}{−}{E}{F}{−}{{D}_{1}}{，}{G}{−}{E}{F}{−}{C}{，}{G}{−}{F}{B}{−}{C}}$$的平面角为$${{α}{，}{β}{，}{γ}{，}}$$则

C

A.$${{γ}{<}{β}{<}{α}}$$

B.$${{β}{<}{γ}{<}{α}}$$

C.$${{α}{<}{γ}{<}{β}}$$

D.与$${{λ}}$$的值有关

正确率40.0%已知$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$为正方体，则二面角$${{B}{−}{{A}_{1}}{{C}_{1}}{−}{A}}$$的余弦值为（）

C

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{2}{)}{，}{A}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{2}{)}{，}{B}{=}{(}{0}{，}{−}{1}{，}{4}{)}{，}{A}{∉}{α}{，}{B}{∈}{α}}$$，则点$${{A}}$$到平面$${{α}}$$的距离为$${{(}{)}}$$

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

1. 题目要求点$$P$$在平面$$α$$内，即向量$$\overrightarrow{MP}$$与法向量$$\overrightarrow{n}$$垂直。计算各选项的$$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{n}$$：

3. 平面$$α$$与$$β$$平行，则法向量$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$成比例，即$$\frac{2}{4} = \frac{3}{μ} = \frac{λ}{-2}$$，解得$$μ=6$$，$$λ=-1$$，故$$λ+μ=5$$。正确答案是D。

4. 平面$$α$$的法向量需与直线$$l$$的方向向量$$\overrightarrow{a}=(2,1,1)$$和向量$$\overrightarrow{PM}=(0,2,4)$$都垂直。计算各选项与$$\overrightarrow{a}$$和$$\overrightarrow{PM}$$的点积：

5. 平面$$α$$的法向量可通过向量$$\overrightarrow{AB}=(0,1,-1)$$和$$\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)$$的叉积得到：$$\overrightarrow{n_α} = (1,1,1)$$。平面$$β$$的法向量为$$\overrightarrow{n_β}=(-1,-1,-1)$$，两者平行但方向相反，故$$α \parallel β$$。正确答案是A。

6. 方向向量$$\overrightarrow{a}$$与法向量$$\overrightarrow{n}$$的点积为$$3 \times 1 + (-2) \times 2 + (-1) \times (-1) = 3-4+1=0$$，说明直线$$l$$与平面$$α$$平行或包含于平面。正确答案是C。

7. 点$$P$$在平面$$α$$内的条件是$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}=0$$。计算各选项：

8. 通过建立坐标系分析几何关系，可以推导出二面角的大小关系为$$β < γ < α$$。正确答案是B。

9. 二面角$$B-A_1C_1-A$$的余弦值可通过向量法计算，结果为$$\frac{\sqrt{6}}{3}$$。正确答案是C。

10. 点$$A$$到平面$$α$$的距离公式为$$\frac{|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{n}|}$$，其中$$\overrightarrow{AP}=(-1,-1,2)$$，计算得$$\frac{|1 \times (-1) + 2 \times (-1) + 2 \times 2|}{3} = \frac{1}{3}$$。正确答案是C。