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正确率40.0%如图，将菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$沿对角线$${{B}{D}}$$折起，使得$${{C}}$$点至$${{C}^{′}{，}{E}}$$点在线段$${{A}{{C}^{′}}}$$上，若二面角$$A-B D-E$$与二面角$$E-B D-C^{\prime}$$的大小分别为$${{3}{0}^{∘}}$$和$${{4}{5}^{∘}}$$，则$$\frac{A E} {E C^{\prime}}=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
2、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{E}}$$为$${{B}_{1}{B}}$$的中点，则平面$${{A}_{1}{E}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
3、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$${{2}{，}{O}}$$为正方形的中心$${，{E}}$$为$${{A}{B}}$$的中点$${，{F}}$$为$${{C}{D}}$$的中点，将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿着对角线$${{B}{D}}$$缓慢折起，当$${{∠}{E}{O}{F}}$$的余弦值为$$- \frac{1} {3}$$时，平面$${{A}{B}{D}}$$与平面$${{B}{C}{D}}$$夹角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在正三棱锥$$P-A B C$$中$${，{M}}$$为棱$${{P}{A}}$$的中点，设$${{B}{M}}$$与$${{A}{C}}$$所成的角为$${{α}{，}{B}{M}}$$与底面$${{A}{B}{C}}$$所成的角为$${{β}{，}}$$平面$${{M}{A}{C}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$的夹角为$${{γ}{，}}$$则下列不等式一定成立的是（）
B
A.$$2 \mathrm{c o s} \alpha> \mathrm{c o s} \beta$$
B.$$2 \mathrm{c o s} \alpha< \mathrm{c o s} \beta$$
C.$$2 \mathrm{c o s} \gamma> \mathrm{c o s} \beta$$
D.$$2 \mathrm{c o s} \gamma< \mathrm{c o s} \beta$$
5、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%正$${{△}{A}{B}{C}}$$与正$${{△}{B}{C}{D}}$$所在平面垂直，则二面角$$A-B D-C$$的正弦值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
6、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%已知四棱锥$$S-A B C D$$中底$${{A}{B}{C}{D}}$$是正方形，且$$S D=A D， \， \， \， S D \perp$$面$${{A}{B}{C}{D}}$$，则面$${{S}{A}{D}}$$和面$${{S}{B}{C}}$$所成的锐角二面角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
7、['空间中平面与平面的位置关系'， '空间向量基本定理的应用'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%在空间直角坐标系$$o-x y z， \， \， \， A \left( 0， 1， 0 \right)， B \left( 1， 1， 1 \right)， C \left( 0， 2， 1 \right)$$确定的平面记为$${{α}{，}}$$不经过点$${{A}}$$的平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=( 2， 2，-2 ) \，，$$则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{α}{/}{/}{β}}$$
B.$${{α}{⊥}{β}}$$
C.$${{α}{，}{β}}$$相交但不垂直
D.$${{α}{，}{β}}$$所成的锐二面角为$$\frac{\pi} {3}$$
8、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%如图，在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=2， \， \， \， A D=\sqrt{3}， \， \， \， A A_{1}=1$$，则二面角$$C-B_{1} D-C_{1}$$的大小的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
9、['二面角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%如图，三棱锥$$S-A B C$$中，棱$$S A， ~ S B， ~ S C$$两两垂直，且$$S A=S B=S C$$，则二面角$$A-B C-S$$大小的正切值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
10、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=2， \， A D=\， A \， A_{1}=1$$，则二面角$$C_{1}-A B-C$$的大小为
A
A.$$\frac{\pi} {4}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{3 \pi} {4}$$
1. **解析**：
设菱形边长为 2，对角线交点为 O。沿 BD 折起后，建立坐标系，设 $$BD$$ 在 x 轴上，$$A(1,0,0)$$，$$C(-1,0,0)$$，$$C'(-1,0,h)$$。二面角 $$A-BD-E$$ 为 30°，$$E-BD-C'$$ 为 45°。设 $$E$$ 在 $$AC'$$ 上，坐标为 $$(x,0,z)$$。利用二面角公式和向量关系，解得 $$\frac{AE}{EC'} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，故选 D。
2. **解析**：
建立坐标系，设正方体边长为 2，$$A_1(0,0,2)$$，$$E(2,0,1)$$，$$D(0,2,0)$$。平面 $$A_1ED$$ 的法向量为 $$\vec{n}=(1,2,2)$$，平面 $$ABCD$$ 的法向量为 $$\vec{k}=(0,0,1)$$。夹角余弦为 $$\frac{2}{3}$$，故选 B。
3. **解析**：
正方形边长为 2，折起后设 $$O(0,0,0)$$，$$E(1,0,0)$$，$$F(0,1,0)$$，$$A(1,0,z)$$。由 $$\cos \angle EOF = -\frac{1}{3}$$，解得 $$z=1$$。平面 $$ABD$$ 与 $$BCD$$ 的法向量夹角余弦为 $$\frac{1}{3}$$，故选 B。
4. **解析**：
设正三棱锥底面边长为 2，高为 $$h$$。通过几何关系和向量计算，得到 $$2 \cos \alpha > \cos \beta$$ 恒成立，故选 A。
5. **解析**：
设两正三角形边长为 2，建立坐标系，求得二面角 $$A-BD-C$$ 的正弦值为 $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，故选 C。
6. **解析**：
设正方形边长为 1，$$SD=1$$。平面 $$SAD$$ 和 $$SBC$$ 的法向量夹角余弦为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 C。
7. **解析**：
平面 $$\alpha$$ 的法向量为 $$\vec{n_1}=(1,0,-1)$$，$$\beta$$ 的法向量为 $$\vec{n_2}=(2,2,-2)$$。两者平行，故 $$\alpha \parallel \beta$$，但 $$\alpha$$ 过点 $$A$$，$$\beta$$ 不过 $$A$$，所以平行，选 A。
8. **解析**：
建立坐标系，求得二面角 $$C-B_1D-C_1$$ 的余弦值为 $$\frac{\sqrt{10}}{5}$$，故选 B。
9. **解析**：
设 $$SA=SB=SC=1$$，求得二面角 $$A-BC-S$$ 的正切值为 $$\sqrt{2}$$，故选 C。
10. **解析**：
建立坐标系，求得二面角 $$C_1-AB-C$$ 的大小为 $$\frac{\pi}{4}$$，故选 A。