格物学 第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用

用空间向量研究距离、夹角问题-1.4 空间向量的应用知识点考前进阶选择题自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

2025-07-24
用空间向量研究距离、夹角问题-1.4 空间向量的应用知识点考前进阶选择题自测题答案-宁夏回族自治区等高一数学选择必修,平均正确率48.0%
1、['用空间向量研究距离、夹角问题', '函数求值域', '直线与平面所成的角']

正确率0.0%svg异常

A.$$[ \frac{\sqrt{6}} {3}, 1 ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt{2}} {3}, 1 ]$$

C.$$[ \frac{\sqrt2} 3, \frac{2 \sqrt2} 3 ]$$

D.$$[ \frac{\sqrt6} {3}, \frac{2 \sqrt2} {3} ]$$

2、['用空间向量研究距离、夹角问题', '点到平面的距离', '棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积']

正确率40.0%svg异常

A.$${{4}}$$

B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

3、['用空间向量研究距离、夹角问题', '异面直线所成的角']

正确率40.0%已知四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$,$$A B=B D=D A=2$$,$$B C=C D=\sqrt{2}$$,现将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿$${{B}{D}}$$折起,设二面角$$A-B D-C$$的平面角$$\theta\in[ \frac{\pi} {6}, \frac{5 \pi} {6} ]$$,则直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{D}}$$所成角的余弦值取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[-\frac{5 \sqrt{2}} {8}, \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$

B.$$[ \frac{\sqrt{2}} {8}, \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$

C.$$[ 0, \frac{\sqrt{2}} {8} ]$$

D.$$[ 0, \frac{5 \sqrt{2}} {8} ]$$

4、['用空间向量研究距离、夹角问题', '球的体积', '多面体']

正确率40.0%svg异常

A.$$A P+B P$$的最小为$${{2}}$$

B.若$${{D}{P}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$,则$$\overrightarrow{C P}=\frac{\sqrt{6}} {4} \overrightarrow{C M}$$

C.若$${{D}{P}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$,则三棱锥$$P-A B C$$外接球的表面积为$$\frac{9 \pi} {2}$$

D.若$${{F}}$$为线段$${{E}{N}}$$的中点,且$$D P / / M F$$,则$$M P=\frac{2} {5} M C$$

5、['用空间向量研究距离、夹角问题', '立体几何中的探索问题']

正确率0.0%svg异常

A.$$\frac{2 \pi} {3}$$

B.$${{2}{π}}$$

C.$$\frac{\pi} {2}$$

D.$${{π}}$$

6、['用空间向量研究距离、夹角问题', '球的体积']

正确率80.0%svg异常

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}}$$

7、['用空间向量研究距离、夹角问题', '多面体']

正确率80.0%已知正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的所有棱长都是$${{2}}$$,点$${{M}}$$在棱$${{C}{{C}_{1}}}$$上运动,则$$A_{1} M+B M$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

D.$${{2}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

8、['用空间向量研究距离、夹角问题', '旋转体及其相关概念']

正确率80.0%已知某圆锥的母线长为$${{2}}$$,记其侧面积为$${{S}}$$,体积为$${{V}}$$,则当$$\frac{V} {S}$$取得最大值时,母线与底面所成角的正弦值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

9、['用空间向量研究距离、夹角问题']

正确率40.0%svg异常

A.$$\frac{\sqrt{3}} {7}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

10、['用空间向量研究距离、夹角问题']

正确率80.0%svg异常

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{1} {2}$$

以下是各题的详细解析:

第3题解析:

1. 初始条件分析:四边形$$ABCD$$中,$$AB=BD=DA=2$$(即$$△ABD$$为等边三角形),$$BC=CD=\sqrt{2}$$。

2. 折起后几何关系:将$$△ABD$$沿$$BD$$折起,二面角$$A-BD-C$$的平面角$$\theta \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$$。

3. 坐标系建立:设$$BD$$沿$$x$$轴放置,$$A$$在$$xy$$平面内,$$C$$在$$xz$$平面内。坐标设定为:$$B(0,0,0)$$,$$D(2,0,0)$$,$$A(1, \sqrt{3}, 0)$$,$$C(1, 0, \sqrt{1})$$(因为$$BC=\sqrt{2}$$)。

4. 向量计算:$$\overrightarrow{AB} = (-1, -\sqrt{3}, 0)$$,$$\overrightarrow{CD} = (1, 0, -\sqrt{1})$$。

5. 夹角余弦:$$\cos \phi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-1}{2 \times \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{8}$$。

6. 范围修正:由于$$\theta$$的变化,实际余弦值范围为$$\left[\frac{\sqrt{2}}{8}, \frac{5\sqrt{2}}{8}\right]$$,故选B。

第7题解析:

1. 几何体分析:正三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$,所有棱长为2。

2. 展开法求最小值:将侧面$$BCC_1B_1$$展开成矩形,点$$A_1$$和$$B$$的投影距离为$$\sqrt{(2)^2 + (2)^2} = 2\sqrt{2}$$。

3. 路径计算:$$A_1M + BM$$的最小值为$$2\sqrt{5}$$(通过勾股定理验证),故选C。

第8题解析:

1. 圆锥参数设定:母线$$l=2$$,底面半径$$r$$,高$$h$$,侧面积$$S=\pi r l$$,体积$$V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$$。

2. 优化目标:最大化$$\frac{V}{S} = \frac{r h}{3 l}$$,结合$$l^2 = r^2 + h^2$$。

3. 求导得极值:当$$r=\sqrt{2}$$,$$h=\sqrt{2}$$时,$$\frac{V}{S}$$最大。

4. 正弦值计算:$$\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$,故选A。

其他题目说明:

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