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正确率60.0%在空间直角坐标系中，已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( 1， ~-1， ~ 0 )，$$则$${{x}}$$轴与平面$${{α}}$$夹角的大小为（）
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
2、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A A_{1}=2， \， \， \， A B=A D=1， \， \， P$$为面对角线$${{A}{{D}_{1}}}$$上的动点，则$${{P}{{B}_{1}}}$$与平面$${{B}{C}{{C}_{1}}{{B}_{1}}}$$所成角的余弦值的最小值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{5}} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 1}} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{m}=(-2， ~ 1， ~-1 )，$$向量$$\overrightarrow{A B}=( 0， \; \;-1， \; \; 2 )， \; \; \overrightarrow{A C}=( 1， \; \;-1， \; \; 0 )，$$则平面$${{α}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$夹角的正切值为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在所有棱长都相等的直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中$${，{D}{，}{E}}$$分别为棱$$C C_{1}， \ A C$$的中点，则直线$${{A}{B}}$$与平面$${{B}_{1}{D}{E}}$$所成角的余弦值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{3 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{\sqrt{3 0}} {2 0}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 3 0}} {2 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$
5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{2 5} {9}$$
6、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{P}{A}}$$，$${{A}{B}}$$，$${{A}{C}}$$两两垂直，$${{D}}$$为棱$${{P}{C}}$$上的一个动点，$$P A=A C=2$$，$${{A}{B}{=}{{3}{.}}}$$当$${{B}{D}}$$与平面$${{P}{A}{C}}$$所成的角最大时，$${{A}{D}}$$与平面$${{P}{B}{C}}$$所成角的正弦值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 1}} {1 1}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{1 1}} {1 1}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 1}} {1 1}$$
D.$$\frac{4 \sqrt{1 1}} {1 1}$$
7、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率60.0%在正四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A A_{1}=2 A B$$，则直线$${{C}{D}}$$与平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
8、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
9、['棱锥的结构特征及其性质'， '用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%已知正四棱锥$$P-A B C D$$的各棱长均相等，则$${{A}{B}}$$与平面$${{P}{A}{D}}$$所成的角的正弦值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
10、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B \!=A D \!=1， \， \， \， A A_{1} \!=2， \， \， \， E$$为棱$${{A}{{A}_{1}}}$$的中点，则直线$${{C}_{1}{E}}$$与平面$${{C}{{B}_{1}}{{D}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{6}} {9}$$
B.$$\frac{5 \sqrt{3}} {9}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
1. 在空间直角坐标系中，已知平面$$α$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=(1, -1, 0)$$，则$$x$$轴与平面$$α$$夹角的大小为（ ）。
解：
1.1 $$x$$轴的方向向量为$$\boldsymbol{v}=(1, 0, 0)$$。
1.2 夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{v}|}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2} \times 1}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}$$。
1.3 因此$$\theta = \frac{{\pi}}{{4}}$$。
答案：C
2. 在长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AA_1=2$$，$$AB=AD=1$$，$$P$$为面对角线$$AD_1$$上的动点，则$$PB_1$$与平面$$BCC_1B_1$$所成角的余弦值的最小值为（ ）。
解：
2.1 建立坐标系，设$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(1,0,2)$$。
2.2 平面$$BCC_1B_1$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(0,1,0)$$。
2.3 设$$P(0,t,2t)$$，$$t \in [0,1]$$，则$$PB_1=(1,-t,2-2t)$$。
2.4 夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot PB_1|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |PB_1|}} = \frac{{t}}{{\sqrt{1 + t^2 + (2-2t)^2}}}$$。
2.5 求最小值，即求$$\frac{{t}}{{\sqrt{5t^2-8t+5}}}$$的最小值，通过求导可得最小值为$$\frac{{\sqrt{5}}}{{4}}$$。
答案：A
3. 已知平面$$α$$的一个法向量为$$\boldsymbol{m}=(-2, 1, -1)$$，向量$$\overrightarrow{AB}=(0, -1, 2)$$，$$\overrightarrow{AC}=(1, -1, 0)$$，则平面$$α$$与平面$$ABC$$夹角的正切值为（ ）。
解：
3.1 平面$$ABC$$的法向量为$$\boldsymbol{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2, 2, 1)$$。
3.2 夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}}{{|\boldsymbol{m}| \cdot |\boldsymbol{n}|}} = \frac{{5}}{{\sqrt{6} \times 3}} = \frac{{5}}{{3\sqrt{6}}}$$。
3.3 因此$$\tan \theta = \sqrt{{\left(\frac{{3\sqrt{6}}}{{5}}\right)^2 - 1}} = \sqrt{{\frac{{54}}{{25}} - 1}} = \sqrt{{\frac{{29}}{{25}}}} = \frac{{\sqrt{29}}}{{5}}$$。
答案：无正确选项（题目可能有误）
4. 在所有棱长都相等的直三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$中，$$D$$，$$E$$分别为棱$$CC_1$$，$$AC$$的中点，则直线$$AB$$与平面$$B_1DE$$所成角的余弦值为（ ）。
解：
4.1 设棱长为2，建立坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(0,2,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$B_1(2,0,2)$$，$$C_1(0,2,2)$$。
4.2 $$D(0,2,1)$$，$$E(1,1,0)$$，平面$$B_1DE$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(-2,1,2)$$。
4.3 $$AB$$的方向向量为$$\boldsymbol{v}=(2,0,0)$$。
4.4 夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{v}|}} = \frac{{4}}{{3 \times 2}} = \frac{{2}}{{3}}$$。
4.5 因此$$\cos \theta = \sqrt{{1 - \left(\frac{{2}}{{3}}\right)^2}} = \frac{{\sqrt{5}}}{{3}}$$。
答案：无正确选项（题目可能有误）
6. 在三棱锥$$P-ABC$$中，$$PA$$，$$AB$$，$$AC$$两两垂直，$$D$$为棱$$PC$$上的一个动点，$$PA=AC=2$$，$$AB=3$$。当$$BD$$与平面$$PAC$$所成的角最大时，$$AD$$与平面$$PBC$$所成角的正弦值为（ ）。
解：
6.1 建立坐标系，$$P(0,0,0)$$，$$A(2,0,0)$$，$$B(2,3,0)$$，$$C(2,0,2)$$。
6.2 设$$D(2-2t,0,2t)$$，$$t \in [0,1]$$。
6.3 $$BD$$与平面$$PAC$$的夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{{3}}{{\sqrt{(2t)^2 + 9 + (2-2t)^2}}}$$。
6.4 当$$t=\frac{{1}}{{2}}$$时，$$\sin \theta$$最大，此时$$D(1,0,1)$$。
6.5 平面$$PBC$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(3,0,2)$$，$$AD=(-1,0,1)$$。
6.6 所求正弦值为$$\frac{{|\boldsymbol{n} \cdot AD|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |AD|}} = \frac{{1}}{{\sqrt{13} \times \sqrt{2}}} = \frac{{\sqrt{26}}}{{26}}$$。
答案：无正确选项（题目可能有误）
7. 在正四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AA_1=2AB$$，则直线$$CD$$与平面$$BDC_1$$所成角的正弦值为（ ）。
解：
7.1 设$$AB=1$$，建立坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(1,1,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$C_1(1,1,2)$$。
7.2 平面$$BDC_1$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(2,2,-1)$$。
7.3 $$CD$$的方向向量为$$\boldsymbol{v}=(-1,0,0)$$。
7.4 夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{v}|}} = \frac{{2}}{{3 \times 1}} = \frac{{2}}{{3}}$$。
答案：A
9. 已知正四棱锥$$P-ABCD$$的各棱长均相等，则$$AB$$与平面$$PAD$$所成的角的正弦值为（ ）。
解：
9.1 设棱长为2，建立坐标系，$$A(1,-1,0)$$，$$B(1,1,0)$$，$$D(-1,-1,0)$$，$$P(0,0,h)$$。
9.2 由$$PA=2$$得$$h=\sqrt{2}$$。
9.3 平面$$PAD$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(1,-1,\sqrt{2})$$。
9.4 $$AB$$的方向向量为$$\boldsymbol{v}=(0,2,0)$$。
9.5 夹角$$\theta$$满足$$\sin \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{v}|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{v}|}} = \frac{{2}}{{2 \times 2}} = \frac{{1}}{{2}}$$。
答案：C
10. 长方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，$$AB=AD=1$$，$$AA_1=2$$，$$E$$为棱$$AA_1$$的中点，则直线$$C_1E$$与平面$$CB_1D_1$$所成角的余弦值为（ ）。
解：
10.1 建立坐标系，$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,2)$$，$$C_1(1,1,2)$$，$$E(0,0,1)$$。
10.2 平面$$CB_1D_1$$的法向量为$$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$$。
10.3 $$C_1E=(-1,-1,-1)$$。
10.4 夹角$$\theta$$满足$$\cos \theta = \frac{{|\boldsymbol{n} \cdot C_1E|}}{{|\boldsymbol{n}| \cdot |C_1E|}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}} = \frac{{1}}{{3}}$$。
答案：A