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正确率60.0%已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( 2， ~ 1， ~ 1 )，$$直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$\boldsymbol{a}=(-1， ~ 0， ~ 3 )，$$则（）
C
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
D.$${{l}{⊂}{α}}$$
2、['平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知两个向量$$\overrightarrow{A B}=( 1， \; \; 2， \; \; 3 )，$$$$\overrightarrow{A C}=( 3， \， \， 2， \， \， 1 )，$$则平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量为（）
A
A.$$(-1， ~ 2， ~-1 )$$
B.$$( 1， ~ 2， ~ 1 )$$
C.$$( 1， ~ 2， ~-1 )$$
D.$$(-1， ~ 2， ~ 1 )$$
3、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%下列说法中不正确的是（）
D
A.平面$${{α}}$$的法向量垂直于与平面$${{α}}$$共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面也互相垂直
D.如果$${{a}^{→}{，}{{b}^{→}}}$$与平面$${{α}}$$共面且$$\overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{a}， \overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{b}，$$那么$${{n}^{→}}$$就是平面$${{α}}$$的一个法向量
4、['平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知平面$${{α}}$$的一个法向量是$$( 2，-1， 1 )， ~ \alpha/ \! / \beta$$，则下列向量可作为平面$${{β}}$$的一个法向量的是（）
D
A.$$( 4， 2，-2 )$$
B.$$( 2， 0， 4 )$$
C.$$( 2，-1，-5 )$$
D.$$( 4，-2， 2 )$$
5、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知平面$${{α}}$$内有一个点$$A ( 2，-1， 2 )， \， \， \alpha$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( 3， 1， 2 )，$$则下列点$${{P}}$$中，在平面$${{α}}$$内的是（）
B
A.$$P ( 1，-1， 1 )$$
B.$$P \left( 1， 3， \frac{3} {2} \right)$$
C.$$P \left( 1，-3， \frac{3} {2} \right)$$
D.$$P \left(-1， 3，-\frac{3} {2} \right)$$
6、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知$$\overrightarrow{A B}=\ ( 2， \ 2， \ 1 ) \， \ \overrightarrow{A C}=\ ( 4， \ 5， \ 3 )$$则下列向量中是平面$${{A}{B}{C}}$$的法向量的是（）
C
A.$$( \ 1， \ 2， \ -6 )$$
B.$$( \ -2， \ 1， \ 1 )$$
C.$$( 1， ~-2， ~ 2 )$$
D.$$( \mathbf{4}， \mathbf{\tau}-2， \mathbf{\tau} 1 )$$
7、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '直线与平面垂直的性质定理'， '平面的法向量及其应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{s}=( 1， 2， x )，$$平面$${{α}}$$的法向量$$\overrightarrow{n}=(-2， y， 2 )，$$若$${{l}{⊂}{α}}$$，则$${{x}{y}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
8、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%设$$\overrightarrow{a}=( 3，-2，-1 )$$是直线$${{l}}$$的方向向量，$$\overrightarrow{n}=( 1， 2，-1 )$$是平面$${{α}}$$的法向量，则（）
D
A.$${{l}{⊥}{α}}$$
B.$${{l}{/}{/}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{⊥}{α}}$$
D.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$
9、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率80.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 2 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， 1， 1 )$$，则$${{(}{)}}$$
C
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$或$${{l}{/}{/}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率80.0%直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$( 2， 1， 1 )$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$$( 4， 2， 2 )$$，则$${{(}{)}}$$
B
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{/}{/}{α}}$$或$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$的位置关系不能判断
1. 已知平面α的法向量$$\boldsymbol{n}=(2,1,1)$$，直线l的方向向量$$\boldsymbol{a}=(-1,0,3)$$
计算点积：$$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a} = 2 \times (-1) + 1 \times 0 + 1 \times 3 = -2 + 0 + 3 = 1 \neq 0$$
由于点积不为零，直线与平面不垂直
检查是否平行：$$\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{a} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (3-0)\boldsymbol{i} - (6+1)\boldsymbol{j} + (0+1)\boldsymbol{k} = (3,-7,1) \neq \boldsymbol{0}$$
由于叉积不为零向量，直线与平面不平行
因此直线与平面斜交，选C
2. 已知$$\overrightarrow{AB}=(1,2,3)$$，$$\overrightarrow{AC}=(3,2,1)$$
求法向量：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2 \times 1 - 3 \times 2)\boldsymbol{i} - (1 \times 1 - 3 \times 3)\boldsymbol{j} + (1 \times 2 - 2 \times 3)\boldsymbol{k}$$
$$= (2-6)\boldsymbol{i} - (1-9)\boldsymbol{j} + (2-6)\boldsymbol{k} = (-4,8,-4)$$
化简得：$$(-1,2,-1)$$，选A
3. 分析各选项：
A正确：法向量垂直于平面内所有向量
B正确：同一平面的法向量互相平行
C错误：法向量垂直只能说明两平面垂直或平行（当法向量平行时）
D正确：这是法向量的定义
选C
4. 已知平面α的法向量$$\boldsymbol{n}=(2,-1,1)$$，α∥β
平行平面的法向量互相平行，即β的法向量与α的法向量成比例
检查选项：
A：$$(4,2,-2) = 2 \times (2,1,-1)$$，不与$$(2,-1,1)$$成比例
B：$$(2,0,4)$$，不与$$(2,-1,1)$$成比例
C：$$(2,-1,-5)$$，不与$$(2,-1,1)$$成比例
D：$$(4,-2,2) = 2 \times (2,-1,1)$$，与α的法向量成比例
选D
5. 已知点A(2,-1,2)，法向量$$\boldsymbol{n}=(3,1,2)$$
平面方程：$$3(x-2) + 1(y+1) + 2(z-2) = 0$$，即$$3x+y+2z-9=0$$
验证各点：
A：$$3 \times 1 + (-1) + 2 \times 1 - 9 = 3-1+2-9 = -5 \neq 0$$
B：$$3 \times 1 + 3 + 2 \times \frac{3}{2} - 9 = 3+3+3-9 = 0$$
C：$$3 \times 1 + (-3) + 2 \times \frac{3}{2} - 9 = 3-3+3-9 = -6 \neq 0$$
D：$$3 \times (-1) + 3 + 2 \times (-\frac{3}{2}) - 9 = -3+3-3-9 = -12 \neq 0$$
选B
6. 已知$$\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$$，$$\overrightarrow{AC}=(4,5,3)$$
法向量：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3 - 1 \times 5)\boldsymbol{i} - (2 \times 3 - 1 \times 4)\boldsymbol{j} + (2 \times 5 - 2 \times 4)\boldsymbol{k}$$
$$= (6-5)\boldsymbol{i} - (6-4)\boldsymbol{j} + (10-8)\boldsymbol{k} = (1,-2,2)$$
检查选项：
A：$$(1,2,-6)$$，点积：$$1 \times 1 + (-2) \times 2 + 2 \times (-6) = 1-4-12 = -15 \neq 0$$
B：$$(-2,1,1)$$，点积：$$1 \times (-2) + (-2) \times 1 + 2 \times 1 = -2-2+2 = -2 \neq 0$$
C：$$(1,-2,2)$$，与计算结果一致
D选项格式错误
选C
7. 已知$$\overrightarrow{s}=(1,2,x)$$，$$\overrightarrow{n}=(-2,y,2)$$，且$$l \subset α$$
由于直线在平面内，方向向量与法向量垂直：$$\overrightarrow{s} \cdot \overrightarrow{n} = 0$$
即：$$1 \times (-2) + 2 \times y + x \times 2 = -2 + 2y + 2x = 0$$
整理得：$$x + y = 1$$
求$$xy$$的最大值：由均值不等式，$$xy \leq \left( \frac{x+y}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$
当$$x=y=\frac{1}{2}$$时取等号
选B
8. 已知$$\overrightarrow{a}=(3,-2,-1)$$，$$\overrightarrow{n}=(1,2,-1)$$
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} = 3 \times 1 + (-2) \times 2 + (-1) \times (-1) = 3-4+1 = 0$$
点积为零说明方向向量与法向量垂直
这意味着直线与平面平行或直线在平面内
选D
9. 已知$$\overrightarrow{a}=(1,0,2)$$，$$\overrightarrow{n}=(-2,1,1)$$
计算点积：$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \times (-2) + 0 \times 1 + 2 \times 1 = -2+0+2 = 0$$
点积为零说明方向向量与法向量垂直
这意味着直线与平面平行或直线在平面内
选C
10. 已知方向向量$$\overrightarrow{s}=(2,1,1)$$，法向量$$\overrightarrow{n}=(4,2,2)$$
观察：$$\overrightarrow{n} = 2 \times \overrightarrow{s}$$，即法向量与方向向量平行
这意味着直线与平面垂直
选B