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正确率60.0%在空间直角坐标系中，已知平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}=( 1， ~-1， ~ 0 )，$$则$${{x}}$$轴与平面$${{α}}$$夹角的大小为（）
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
5、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A D=A A_{1}=1， \， \， P$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）
A
A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$
C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$
7、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面垂直的性质定理'， '直线与平面平行的判定定理']正确率60.0%$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， B， C$$的对边分别为$$a， b， c$$.已知$$\operatorname{s i n} B+\operatorname{s i n} A ( \operatorname{s i n} C-\operatorname{c o s} C )=0，$$则$${{∠}{A}{=}{（}}$$）
A.$$\frac{5} {6}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {3}$$
10、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '直线与平面所成的角']正确率40.0%在直三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，$$A A_{1}=A B=A C=1， A B \perp A C， N$$是$${{B}{C}}$$的中点，点$${{P}}$$在$${{A}_{1}{{B}_{1}}}$$上，且满足：$$\overrightarrow{A_{1} P}=\lambda\overrightarrow{A_{1} B_{1}}$$，则直线$${{P}{N}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成的角$${{θ}}$$取最大值时$${{λ}}$$的值为
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
2. 已知平面α的法向量$$\boldsymbol{n}=(1,-1,0)$$，x轴方向向量为$$\boldsymbol{i}=(1,0,0)$$。设夹角为θ，则：
$$\cos\theta = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{i}|}{|\boldsymbol{n}| \cdot |\boldsymbol{i}|} = \frac{|1 \times 1 + (-1) \times 0 + 0 \times 0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
因此$$\theta = \frac{\pi}{4}$$，答案为C。
5. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(\sqrt{3},0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，则$$C(\sqrt{3},1,0)$$，$$D_1(0,1,1)$$，$$B_1(\sqrt{3},0,1)$$，$$C_1(\sqrt{3},1,1)$$。
设$$\overrightarrow{A_1P} = t\overrightarrow{A_1C}$$，则$$P = A_1 + t(A_1C) = (0,0,1) + t(\sqrt{3},1,-1) = (t\sqrt{3}, t, 1-t)$$。
A选项：当$$\overrightarrow{A_1C} = 2\overrightarrow{A_1P}$$即$$t=\frac{1}{2}$$时，$$P(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$，$$B(\sqrt{3},0,0)$$，向量$$\overrightarrow{BP} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$。平面ABCD法向量为$$\boldsymbol{k}=(0,0,1)$$，夹角正弦值为$$\frac{|\overrightarrow{BP} \cdot \boldsymbol{k}|}{|\overrightarrow{BP}|} = \frac{1/2}{\sqrt{3/4+1/4+1/4}} = \frac{1/2}{\sqrt{5/4}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$，但选项给出$$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，故A错误。
B选项：当$$t=\frac{1}{3}$$时，验证$$\overrightarrow{D_1P} \cdot \boldsymbol{n}=0$$成立。
C选项：当$$t=\frac{1}{4}$$时，计算二面角余弦值为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$正确。
D选项：由$$\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{D_1P}=0$$解得$$t=\frac{1}{5}$$，即$$\overrightarrow{A_1C}=5\overrightarrow{A_1P}$$正确。
因此错误结论为A。
7. 已知$$\sin B + \sin A(\sin C - \cos C) = 0$$，由三角形内角和$$A+B+C=\pi$$得$$B=\pi-A-C$$，代入：
$$\sin(\pi-A-C) + \sin A(\sin C - \cos C) = \sin(A+C) + \sin A(\sin C - \cos C) = 0$$
展开$$\sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$$，代入得：
$$\sin A \cos C + \cos A \sin C + \sin A \sin C - \sin A \cos C = \cos A \sin C + \sin A \sin C = \sin C(\cos A + \sin A) = 0$$
由于$$\sin C \neq 0$$，故$$\cos A + \sin A = 0$$，即$$\tan A = -1$$，又$$A \in (0,\pi)$$，得$$A = \frac{3\pi}{4}$$，答案为B。
10. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$C(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$，则$$B_1(1,0,1)$$，$$C_1(0,1,1)$$，$$N(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$$。
由$$\overrightarrow{A_1P} = \lambda \overrightarrow{A_1B_1}$$得$$P(\lambda,0,1)$$。
向量$$\overrightarrow{PN} = (\frac{1}{2}-\lambda, \frac{1}{2}, -1)$$，平面ABC法向量为$$\boldsymbol{k}=(0,0,1)$$。
设直线PN与平面ABC夹角为θ，则：
$$\sin\theta = \frac{|\overrightarrow{PN} \cdot \boldsymbol{k}|}{|\overrightarrow{PN}|} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2}-\lambda)^2 + (\frac{1}{2})^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{(\lambda-\frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}}}$$
当分母最小时$$\sin\theta$$最大，即$$(\lambda-\frac{1}{2})^2$$最小时，$$\lambda=\frac{1}{2}$$。
此时$$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{0 + \frac{5}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$，对应选项D。
但问题要求的是λ的值，当$$\lambda=\frac{1}{2}$$时，$$\sin\theta$$最大，故答案为A。