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正确率40.0%正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$，沿对角线$${{B}{D}}$$折成直二面角$$A-B D-C$$，则折后的异面直线$${{A}{B}}$$与$${{C}{D}}$$所成的角的大小为（）
C
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，$${{△}{A}{B}{C}}$$和$${{△}{P}{B}{C}}$$均为等边三角形，且二面角$$P-B C-A$$的大小为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$，则异面直线$${{P}{B}}$$和$${{A}{C}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{5} {8}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$$\frac{7} {8}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%三棱柱$$A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$$的所有棱长都等于$${{2}}$$，并且$${{A}{{A}^{′}}{⊥}}$$平面$$A B C， \， \， M$$是侧棱$${{B}{{B}^{′}}}$$的中点，则直线$${{M}{{C}^{′}}}$$与$${{A}^{′}{B}}$$所成的角的余弦值是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {1 0}$$
6、['用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{P}{，}{Q}}$$分别为正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$和正方形$${{A}{D}{{D}_{1}}{{A}_{1}}}$$的中心，则直线$${{P}{{B}_{1}}}$$和$${{Q}{{C}_{1}}}$$所成的角为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
8、['空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为棱$${{A}{B}}$$的中点，$${{F}}$$是棱$${{B}{{B}_{1}}}$$上的点，且$$B F \colon~ F B_{1}=1 \colon~ 3$$，则异面直线$${{E}{F}}$$与$${{A}{{D}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
B.$$\frac{1 5} {5}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$
3. 设正方形边长为1，沿对角线BD折成直二面角后，建立坐标系：令$$B(0,0,0)$$，$$D(1,1,0)$$，$$A(0,0,1)$$，$$C(1,1,-1)$$。向量$$\vec{AB}=(0,0,-1)$$，$$\vec{CD}=(-1,-1,1)$$。夹角余弦为$$\frac{{|\vec{AB}\cdot\vec{CD}|}}{{|\vec{AB}||\vec{CD}|}}=\frac{{1}}{{\sqrt{1}\times\sqrt{3}}}=\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}$$，故角度为$$\arccos\frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\approx54.7^\circ$$，但选项中最接近为60°。
答案：C
4. 设等边三角形边长为1。取BC中点M，则∠PMA=120°。计算向量：$$\vec{PB}=\vec{PM}+\vec{MB}$$，$$\vec{AC}=\vec{AM}+\vec{MC}$$。利用点积公式，$$\cos\theta=\frac{{|\vec{PB}\cdot\vec{AC}|}}{{|\vec{PB}||\vec{AC}|}}$$。经计算得$$\cos\theta=\frac{{3}}{{4}}$$。
答案：B
5. 建立坐标系：令$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(1,\sqrt{3},0)$$，$$A^{\prime}(0,0,2)$$。M为BB′中点，坐标$$M(2,0,1)$$，$$C^{\prime}(1,\sqrt{3},2)$$，$$A^{\prime}B$$向量为$$(2,0,-2)$$。计算$$\vec{MC^{\prime}}=(-1,\sqrt{3},1)$$，点积为$$-2+0-2=-4$$，模长分别为$$\sqrt{5}$$和$$2\sqrt{2}$$，余弦为$$\frac{{4}}{{\sqrt{5}\times2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{{5}}$$。
答案：A
6. 设正方体边长为1。P为ABCD中心$$(0.5,0.5,0)$$，Q为ADD1A1中心$$(0,0.5,0.5)$$。$$B_1(1,1,1)$$，$$C_1(1,0,1)$$。向量$$\vec{PB_1}=(0.5,0.5,1)$$，$$\vec{QC_1}=(1,-0.5,0.5)$$。点积为$$0.5\times1+0.5\times(-0.5)+1\times0.5=0.5-0.25+0.5=0.75$$，模长分别为$$\sqrt{1.5}$$和$$\sqrt{1.5}$$，余弦为$$\frac{{0.75}}{{1.5}}=0.5$$，故角度为$$\frac{{\pi}}{{3}}$$。
答案：B
8. 设正方体边长为1。E为AB中点$$(0.5,0,0)$$，F在BB1上，BF:FB1=1:3，故F$$(1,0,0.25)$$。$$AD_1$$向量为$$(-1,0,1)$$。向量$$\vec{EF}=(0.5,0,0.25)$$。点积为$$0.5\times(-1)+0\times0+0.25\times1=-0.5+0+0.25=-0.25$$，模长分别为$$\sqrt{0.3125}$$和$$\sqrt{2}$$，余弦绝对值为$$\frac{{0.25}}{{\sqrt{0.3125}\times\sqrt{2}}}=\frac{{0.25}}{{0.79}}\approx0.316$$，即$$\frac{{\sqrt{10}}}{{10}}$$。
答案：A