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正确率40.0%svg异常
A
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{9}{0}^{∘}}$$
C.$${{3}{0}^{∘}}$$
D.$${{4}{5}^{∘}}$$
2、['数量积的运算律'， '空间向量的夹角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知向量$${{m}^{→}{，}{{n}^{→}}}$$分别是直线$${{l}}$$和平面$${{α}}$$的方向向量和法向量，若$$\operatorname{c o s} < \stackrel{\rightarrow} {m}， \; \; \stackrel{\rightarrow} {n} >=-\frac{1} {2}，$$< overrightarrow{m}， overrightarrow{n} >$$=-\frac{1} {2}$$，则$${{l}}$$与$${{α}}$$所成的角为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{1}{5}{0}^{∘}}$$
3、['空间中直线与平面的位置关系'， '向量的数量积的定义'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%设直线$${{l}}$$的一个方向向量$$\overrightarrow{d} ~=~ ( 6， ~ 2， ~ 3 ) ~，$$平面$${{α}}$$的一个法向量$$\overrightarrow{n}=~ ( \begin{array} {c c} {-1， \ 3， \ 0} \\ \end{array} )$$则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的位置关系是（）
D
A.垂直
B.平行
C.直线$${{l}}$$在平面$${{α}}$$内
D.直线$${{l}}$$在平面$${{α}}$$内或平行
4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%已知平面$${{α}}$$，$${{β}}$$的法向量分别为$$\overrightarrow{a}=(-1， y， 4 )$$，$$\vec{b}=( x，-1，-2 )$$且$${{α}{⊥}{β}}$$，则$${{x}{+}{y}}$$的值为（）
A
A.$${{−}{8}}$$
B.$${{−}{4}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
5、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%$${{[}{{2}{0}{1}{9}}{⋅}}$$唐山一模]已知直四棱柱$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的所有棱长都相等$${，}$$
$$\angle A B C=6 0^{\circ}，$$则直线$${{B}{{C}_{1}}}$$与平面$${{A}{B}{{B}_{1}}{{A}_{1}}}$$所成角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{6}} {4}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['空间直角坐标系'， '空间向量运算的坐标表示'， '用空间向量研究平面与平面之间的距离'， '用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%若正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$的棱长为$${{1}{，}}$$则平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$与平面$${{B}_{1}{C}{{D}_{1}}}$$间的距离为（）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
7、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{{1}{0}}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若直线$${{l}}$$的一个方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， ~ 0， ~ 2 )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=(-2， ~ 0， ~-4 )，$$则（）
B
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
9、['用空间向量研究点到平面的距离'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\overrightarrow{n}=( 1， 2， 2 )， \， \， \， A=( 1， 0， 2 )， \， \， \， B=( 0，-1， 4 )， \， \， \， A \notin\alpha， \， \， \， B \in\alpha$$，则点$${{A}}$$到平面$${{α}}$$的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
10、['平面的法向量及其应用']正确率80.0%在平面$${{A}{B}{C}}$$中，$$A ( 0， 1， 1 )$$，$$B ( 1， 2， 1 )$$，$$C (-1， 0，-1 )$$，若$$\overrightarrow{a}=(-1， y， z )$$，且$${{a}^{→}}$$为平面$${{A}{B}{C}}$$的一个法向量，则$$y+z=( \eta)$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 题目1的选项格式异常，无法解析。
2. 已知向量$$\overrightarrow{m}$$是直线$$l$$的方向向量，$$\overrightarrow{n}$$是平面$$α$$的法向量，且$$\cos \langle \overrightarrow{m}, \overrightarrow{n} \rangle = -\frac{1}{2}$$。设直线$$l$$与平面$$α$$所成的角为$$θ$$，则$$\sin θ = |\cos \langle \overrightarrow{m}, \overrightarrow{n} \rangle| = \frac{1}{2}$$，因此$$θ = 30°$$。正确答案是A。
3. 直线$$l$$的方向向量$$\overrightarrow{d} = (6, 2, 3)$$，平面$$α$$的法向量$$\overrightarrow{n} = (-1, 3, 0)$$。计算点积：$$\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{n} = 6 \times (-1) + 2 \times 3 + 3 \times 0 = -6 + 6 + 0 = 0$$。由于点积为0，直线$$l$$与平面$$α$$平行或直线在平面内。正确答案是D。
4. 平面$$α$$和$$β$$的法向量分别为$$\overrightarrow{a} = (-1, y, 4)$$和$$\overrightarrow{b} = (x, -1, -2)$$，且$$α ⊥ β$$，因此$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$。计算点积：$$-1 \times x + y \times (-1) + 4 \times (-2) = -x - y - 8 = 0$$，即$$x + y = -8$$。正确答案是A。
5. 直四棱柱$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的棱长相等，且$$\angle ABC = 60°$$。设棱长为1，建立坐标系计算直线$$BC_1$$与平面$$ABB_1A_1$$的夹角。通过向量法求得夹角的余弦值为$$\frac{\sqrt{10}}{4}$$。正确答案是B。
6. 正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$的棱长为1，平面$$A_1BD$$与平面$$B_1CD_1$$平行。计算两平面间的距离为$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$。正确答案是B。
7. 直线$$l$$的方向向量$$\boldsymbol{a} = (1, 2, -1)$$，平面$$α$$的法向量$$\boldsymbol{m} = (-2, -4, k)$$。由于$$l ⊥ α$$，方向向量与法向量平行，因此$$\frac{1}{-2} = \frac{2}{-4} = \frac{-1}{k}$$，解得$$k = 2$$。正确答案是A。
8. 直线$$l$$的方向向量$$\overrightarrow{a} = (1, 0, 2)$$，平面$$α$$的法向量$$\overrightarrow{n} = (-2, 0, -4)$$。由于$$\overrightarrow{n} = -2\overrightarrow{a}$$，方向向量与法向量平行，因此$$l ⊥ α$$。正确答案是B。
9. 平面$$α$$的法向量$$\overrightarrow{n} = (1, 2, 2)$$，点$$A = (1, 0, 2)$$，点$$B = (0, -1, 4)$$且$$B ∈ α$$。计算点$$A$$到平面$$α$$的距离公式为$$\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$$。$$\overrightarrow{AB} = (-1, -1, 2)$$，点积为$$-1 \times 1 + (-1) \times 2 + 2 \times 2 = -1 -2 +4 = 1$$，法向量的模为$$\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$，因此距离为$$\frac{1}{3}$$。正确答案是C。
10. 平面$$ABC$$的法向量$$\overrightarrow{a} = (-1, y, z)$$，点$$A = (0, 1, 1)$$，$$B = (1, 2, 1)$$，$$C = (-1, 0, -1)$$。计算向量$$\overrightarrow{AB} = (1, 1, 0)$$和$$\overrightarrow{AC} = (-1, -1, -2)$$，法向量与这两个向量垂直，因此点积为0：$$-1 \times 1 + y \times 1 + z \times 0 = -1 + y = 0$$，解得$$y = 1$$；$$-1 \times (-1) + y \times (-1) + z \times (-2) = 1 - y - 2z = 0$$，代入$$y = 1$$得$$1 - 1 - 2z = 0$$，解得$$z = 0$$。因此$$y + z = 1$$。正确答案是B。
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