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正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A D=A A_{1}=1， \， \， P$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）
A
A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$
C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$
2、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%在空间直角坐标系$${{O}{x}{y}{z}}$$中$$\overrightarrow{A B}=( 1， \quad-1， \enskip0 )， \enskip\overrightarrow{B C}=(-2， \enskip0， \enskip1 )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{m}=(-1， ~ 0， ~ 1 )，$$则平面$${{α}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$夹角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3 3}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 3}} {4}$$
3、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知$${{P}}$$为正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$所在平面外一点$${，{P}{A}{⊥}}$$平面$$A B C D，$$若$$P A=A B，$$则平面$${{P}{A}{B}}$$与平面$${{P}{C}{D}}$$所成的角为（）
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
4、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知$$\operatorname{c o s} \langle\boldsymbol{a}， \boldsymbol{b} \rangle$$$$=-\frac{1} {4}，$$则下列说法错误的是（）
B
A.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的方向向量，则直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
B.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
C.若$${{a}{，}{b}}$$分别是平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量，则平面$${{α}{，}{β}}$$的夹角的余弦值是$$\frac{1} {4}$$
D.若$${{a}{，}{b}}$$分别是直线$${{l}}$$的方向向量与平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的夹角的正弦值是$$\frac{1} {4}$$
5、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在正三棱锥$$P-A B C$$中$${，{M}}$$为棱$${{P}{A}}$$的中点，设$${{B}{M}}$$与$${{A}{C}}$$所成的角为$${{α}{，}{B}{M}}$$与底面$${{A}{B}{C}}$$所成的角为$${{β}{，}}$$平面$${{M}{A}{C}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$的夹角为$${{γ}{，}}$$则下列不等式一定成立的是（）
B
A.$$2 \mathrm{c o s} \alpha> \mathrm{c o s} \beta$$
B.$$2 \mathrm{c o s} \alpha< \mathrm{c o s} \beta$$
C.$$2 \mathrm{c o s} \gamma> \mathrm{c o s} \beta$$
D.$$2 \mathrm{c o s} \gamma< \mathrm{c o s} \beta$$
6、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知正三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$的棱长均为$${{a}{，}{D}}$$是侧棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点，则平面$${{A}{B}{C}}$$与平面$${{A}{{B}_{1}}{D}}$$的夹角为（）
A
A.$${{4}{5}^{∘}}$$
B.$${{6}{0}^{∘}}$$
C.$${{7}{5}^{∘}}$$
D.$${{3}{0}^{∘}}$$
7、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究两个平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{5}{0}^{∘}}$$
D.$${{6}{0}^{∘}}$$
8、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{2 1}} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
9、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%svg异常
C
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac2 3$$
10、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%svg异常
C
A.$$\alpha> \beta> \gamma$$
B.$$\alpha> \gamma> \beta$$
C.$$\gamma> \alpha> \beta$$
D.$$\gamma> \beta> \alpha$$
1. 题目解析：
选项A：当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，点P是A1C的中点。计算BP与平面ABCD的夹角，先求BP的方向向量和平面法向量，通过向量夹角公式验证正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$$，正确。
选项B：当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，P将A1C分为1:2。验证D1P与平面BDC1的法向量垂直，即$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$，正确。
选项C：当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，P将A1C分为1:3。计算二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值应为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$，正确。
选项D：若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot \overrightarrow{D_{1} P}=0$$，通过向量关系推导得到$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$，正确。
综上，题目要求选择错误的结论，但所有选项均正确，可能题目有误。
2. 题目解析：
首先求平面ABC的法向量：$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = (1, -1, 0) \times (-2, 0, 1) = (-1, 1, -2)$$。
已知平面α的法向量为$$\boldsymbol{m}=(-1, 0, 1)$$。
两平面夹角θ的余弦为$$\cos \theta = \frac{|\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}| |\boldsymbol{n}|} = \frac{|(-1)(-1) + 0 \times 1 + 1 \times (-2)|}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$。
正弦值为$$\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{33}}{6}$$，选项A正确。
3. 题目解析：
设正方形边长为1，建立坐标系，P在z轴上，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)。
平面PAB的法向量为$$\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB} = (0,0,-1) \times (1,0,-1) = (0,-1,0)$$。
平面PCD的法向量为$$\overrightarrow{PC} \times \overrightarrow{PD} = (1,1,-1) \times (0,1,-1) = (0,1,1)$$。
两法向量夹角余弦为$$\cos \theta = \frac{|0 \times 0 + (-1) \times 1 + 0 \times 1|}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，夹角为45°，选项B正确。
4. 题目解析：
选项A：直线夹角取锐角，余弦为$$\frac{1}{4}$$，正确。
选项B：直线与平面夹角的正弦为$$\frac{1}{4}$$，余弦应为$$\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$，错误。
选项C：平面夹角余弦为$$\frac{1}{4}$$，正确。
选项D：直线与平面夹角正弦为$$\frac{1}{4}$$，正确。
综上，错误的选项是B。
5. 题目解析：
设正三棱锥底面ABC为等边三角形，侧棱PA=PB=PC。M为PA中点，BM与AC成角α，BM与底面ABC成角β，平面MAC与ABC夹角γ。
通过几何关系和三角函数推导可得$$2 \cos \alpha > \cos \beta$$，选项A正确。
6. 题目解析：
正三棱柱ABC-A1B1C1棱长为a，D为CC1中点。求平面ABC与平面AB1D的夹角。
建立坐标系计算法向量，夹角余弦为$$\frac{1}{2}$$，夹角为60°，选项B正确。
7-10. 题目解析：
由于题目描述不完整，无法给出具体解析。