.jpg)
正确率60.0%在空间直角坐标系中，已知直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{m}{=}{(}{0}{，}{−}{1}{，}{−}{\sqrt {3}}{)}{，}}$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{0}{，}{\sqrt {3}}{，}{1}{)}{，}}$$则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$所成的角为（）
C
A.$${{3}{0}^{∘}}$$
B.$${{4}{5}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率40.0%在正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中$${，{E}}$$是$${{C}_{1}{C}}$$的中点，则直线$${{B}{E}}$$与平面$${{B}_{1}{B}{D}}$$所成角的正弦值为（）
C
A.$$- \frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$- \frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
5、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率60.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}{=}{(}{4}{，}{1}{，}{1}{)}{，}}$$直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{a}{=}{(}{−}{2}{，}{−}{3}{，}{3}{)}{，}}$$则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$所成角的余弦值为（）
D
A.$$- \frac{\sqrt{1 1}} {1 1}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 1}} {1 1}$$
C.$$- \frac{\sqrt{1 1 0}} {1 1}$$
D.$$\frac{\sqrt{9 1 3}} {3 3}$$
9、['用空间向量研究直线与平面所成的角']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{A B}=~ ( 1， ~ 0， ~-1 ) ~，$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}^{→}{=}{（}{0}{，}{1}{，}{1}{）}{，}}$$则直线$${{A}{B}}$$与平面$${{α}}$$所成角$${{θ}}$$为（）
A
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{2 \pi} {3}$$
10、['空间直角坐标系'， '用空间向量研究直线与平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%三棱锥$${{P}{−}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{C}{⊥}{B}{C}{，}{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}{，}{A}{C}{=}{B}{C}{=}{2}{，}{P}{A}{=}{4}}$$，则$${{P}{C}}$$和平面$${{P}{A}{B}}$$所成角的正切值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {1 0}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
1. 直线与平面所成的角可以通过方向向量与法向量的夹角来确定。设夹角为 $$θ$$，则满足 $$\sin θ = \frac{|\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{m}\| \|\mathbf{n}\|}$$。
3. 建立坐标系，设正方体边长为 2，坐标如下：$$B(2,2,0)$$，$$E(0,2,1)$$，平面 $$B_1BD$$ 的法向量可通过叉积求得为 $$\mathbf{n} = (1,-1,0)$$。
5. 直线与平面所成角的余弦值可通过方向向量与法向量的夹角公式计算。设夹角为 $$θ$$，则： $$ \cos \left( \frac{\pi}{2} - θ \right) = \frac{|\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}|}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{n}\|} $$ 计算点积和模长： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (-2) \times 4 + (-3) \times 1 + 3 \times 1 = -8 -3 +3 = -8 $$ $$ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22} $$ $$ \|\mathbf{n}\| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ 因此： $$ \sin θ = \frac{8}{\sqrt{22} \times 3\sqrt{2}} = \frac{8}{6\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{11}}{33} $$ 但题目要求的是 $$\cos θ$$，通过三角恒等式： $$ \cos θ = \sqrt{1 - \left( \frac{4\sqrt{11}}{33} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{176}{1089}} = \sqrt{\frac{913}{1089}} = \frac{\sqrt{913}}{33} $$ 答案为 $$D$$。