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正确率60.0%已知两个异面直线的方向向量分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$且$${{|}{a}{|}{=}{|}{b}{|}{=}{1}{，}}$$$$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1} {2}，$$则两直线的夹角为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{2 \pi} {3}$$
D.$$\frac{5 \pi} {6}$$
2、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%从点$${{A}{(}{2}{，}{−}{1}{，}{7}{)}}$$沿向量$${{a}{=}{(}{8}{，}{9}{，}{−}{{1}{2}}{)}}$$的方向取线段$${{A}{B}{，}}$$且$$| \overrightarrow{A B} |=3 4，$$则$${{B}}$$点的坐标为（）
A
A.$${{(}{{1}{8}}{，}{{1}{7}}{，}{−}{{1}{7}}{)}}$$
B.$${{(}{−}{{1}{4}}{，}{−}{{1}{9}}{，}{{1}{7}}{)}}$$
C.$$\left( 6， ~ \frac{7} {2}， ~ 1 \right)$$
D.$$\left(-2， ~-\frac{1 1} {2}， ~ 1 3 \right)$$
3、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率80.0%若点$$A \left(-\frac{1} {2}， ~ 0， ~ \frac{1} {2} \right)， ~ B \left( \frac{1} {2}， ~ 2， ~ \frac{7} {2} \right)$$在直线$${{l}}$$上，则直线$${{l}}$$的一个方向向量为（）
A
A.$$\left( \frac{1} {3}， \ \frac{2} {3}， \ 1 \right)$$
B.$$\left( \frac1 3， ~ 1， ~ \frac2 3 \right)$$
C.$$\left( \frac{2} {3}， \ \frac{1} {3}， \ 1 \right)$$
D.$$\left( 1， ~ \frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3} \right)$$
4、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率60.0%直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{(}{2}{，}{1}{，}{1}{)}}$$，平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{(}{4}{，}{2}{，}{2}{)}}$$，则（）
B
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{/}{/}{α}}$$或$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$的位置关系不能判断
5、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%在三棱锥$${{A}{−}{B}{C}{D}}$$中，$${{A}{B}{=}{(}{0}{，}{2}{，}{−}{1}{)}{A}{C}{=}}$$$${{(}{−}{1}{，}{2}{，}{0}{)}{，}{A}{D}{=}{(}{0}{，}{−}{2}{，}{0}{)}{，}}$$则直线$${{A}{D}}$$与平面$${{A}{B}{C}}$$所成角的正弦值为（）
A
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{2 \sqrt2} 3$$
6、['两条直线垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率60.0%直线$${{l}_{1}{:}{y}{=}{m}{x}{+}{1}}$$，直线$${{l}_{2}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{)}{，}}$$且$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则$${{m}{=}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
7、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '直线与平面垂直的性质定理'， '平面的法向量及其应用'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$的方向向量为$${{s}^{→}{=}{(}{1}{，}{2}{，}{x}{)}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量$${{n}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{y}{，}{2}{)}{，}}$$若$${{l}{⊂}{α}}$$，则$${{x}{y}}$$的最大值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {8}$$
8、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{a}^{→}{=}{(}{1}{，}{0}{，}{2}{)}{，}}$$平面$${{α}}$$的一个法向量为$${{n}^{→}{=}{(}{−}{2}{，}{0}{，}{−}{4}{)}{，}}$$则（）
B
A.$${{l}{/}{/}{α}}$$
B.$${{l}{⊥}{α}}$$
C.$${{l}{⊂}{α}}$$
D.$${{l}}$$与$${{α}}$$斜交
9、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '平面的法向量及其应用']正确率60.0%若$${{d}^{→}{=}{（}{4}{，}{2}{，}{3}{）}}$$是直线$${{l}}$$的方向向量，$${{n}^{→}{=}{（}{−}{1}{，}{3}{，}{0}{）}}$$是平面$${{α}}$$的法向量，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的位置关系是（）
D
A.垂直
B.平行
C.直线$${{l}}$$在平面$${{α}}$$内
D.相交但不垂直
10、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示']正确率80.0%直线$${{l}}$$：$${{3}{x}{−}{4}{y}{+}{5}{=}{0}}$$的一个方向向量的坐标为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{−}{4}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{3}{，}{−}{4}{)}}$$
C.$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{4}{，}{3}{)}}$$
1. 两异面直线的夹角即为它们方向向量的夹角。已知 $$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$$，$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}$$，则夹角 $$\theta$$ 满足 $$\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=-\frac{1}{2}$$，所以 $$\theta=\frac{2\pi}{3}$$。答案为 C。
2. 向量 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\boldsymbol{a}$$ 同方向，且 $$|\overrightarrow{AB}|=34$$，故 $$\overrightarrow{AB}=\frac{34}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}=\frac{34}{\sqrt{8^2+9^2+(-12)^2}}\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{a}=(16,18,-24)$$。因此，点 $$B$$ 的坐标为 $$(2+16,-1+18,7-24)=(18,17,-17)$$。答案为 A。
3. 直线 $$l$$ 的方向向量为 $$\overrightarrow{AB}=\left(\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right),2-0,\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\right)=(1,2,3)$$。选项中只有 $$A$$ 选项 $$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$$ 是其比例向量。答案为 A。
4. 平面 $$\alpha$$ 的法向量 $$\boldsymbol{n}=(4,2,2)$$ 是直线 $$l$$ 的方向向量 $$\boldsymbol{s}=(2,1,1)$$ 的 2 倍，故 $$\boldsymbol{s}$$ 与 $$\boldsymbol{n}$$ 平行，即 $$l \parallel \alpha$$ 或 $$l \subset \alpha$$。答案为 C。
5. 平面 $$ABC$$ 的法向量 $$\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}=(0,2,-1) \times (-1,2,0)=(2,1,2)$$。直线 $$AD$$ 的方向向量为 $$\overrightarrow{AD}=(0,-2,0)$$。设夹角为 $$\theta$$，则 $$\sin \theta = \frac{|\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{AD}|}{|\boldsymbol{n}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{|0 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2} \cdot 2}=\frac{2}{3 \cdot 2}=\frac{1}{3}$$。答案为 A。
6. 直线 $$l_2$$ 的方向向量 $$\boldsymbol{a}=(1,2)$$ 对应斜率为 2，故 $$l_2$$ 的斜率为 2。由 $$l_1 \perp l_2$$，得 $$m \cdot 2=-1$$，即 $$m=-\frac{1}{2}$$。答案为 B。
7. 由于 $$l \subset \alpha$$，方向向量 $$\boldsymbol{s}$$ 与法向量 $$\boldsymbol{n}$$ 垂直，故 $$\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{n}=0$$，即 $$1 \cdot (-2)+2 \cdot y + x \cdot 2=0$$，化简得 $$2y+2x=2$$，即 $$x+y=1$$。由不等式 $$xy \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$，当且仅当 $$x=y=\frac{1}{2}$$ 时取等。答案为 B。
8. 法向量 $$\boldsymbol{n}=-2\boldsymbol{a}$$，故 $$\boldsymbol{a}$$ 与 $$\boldsymbol{n}$$ 平行，即 $$l \perp \alpha$$。答案为 B。
9. 计算 $$\boldsymbol{d} \cdot \boldsymbol{n}=4 \cdot (-1)+2 \cdot 3+3 \cdot 0=2 \neq 0$$，故直线 $$l$$ 与平面 $$\alpha$$ 相交但不垂直。答案为 D。
10. 直线 $$3x-4y+5=0$$ 的斜率为 $$\frac{3}{4}$$，其方向向量为 $$(4,3)$$（取分母和分子）。答案为 D。