1、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']正确率40.0%在空间直角坐标系$${{O}{x}{y}{z}}$$中，点$${{A}{(}{1}{，}{3}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{0}{，}{3}{，}{−}{1}{)}{，}}$$则（）
C
A.直线$${{A}{B}{/}{/}}$$坐标平面$${{O}{x}{y}}$$
B.直线$${{A}{B}{⊥}}$$坐标平面$${{O}{x}{y}}$$
C.直线$${{A}{B}{/}{/}}$$坐标平面$${{O}{x}{z}}$$
D.直线$${{A}{B}{⊥}}$$坐标平面$${{O}{x}{z}}$$
4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=( 2， \; \; 4， \; \; x )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量$${{n}^{→}{=}{(}{1}{，}{y}{，}{3}{)}{，}}$$若$${{A}{B}{⊥}{α}{，}}$$则（）
A
A.$${{x}{=}{6}{，}{y}{=}{2}}$$
B.$${{x}{=}{2}{，}{y}{=}{6}}$$
C.$${{3}{x}{+}{4}{y}{+}{2}{=}{0}}$$
D.$${{4}{x}{+}{3}{y}{+}{2}{=}{0}}$$
6、['立体几何中的探索问题'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']正确率40.0%在三棱柱$${{A}{B}{C}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}$$中，侧棱$${{A}{{A}_{1}}{⊥}}$$底面$${{A}_{1}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{，}{∠}{B}{A}{C}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}}$$$${{A}{B}{=}{A}{C}{=}{A}{{A}_{1}}{=}{1}{，}{D}}$$是棱$${{C}{{C}_{1}}}$$的中点$${，{P}}$$是$${{A}{D}}$$的延长线与$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的延长线的交点.若点$${{Q}}$$在直线$${{B}_{1}{P}}$$上，则下列结论正确的是（）
D
A.当点$${{Q}}$$为线段$${{B}_{1}{P}}$$的中点时$${，{D}{Q}{⊥}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$
B.当点$${{Q}}$$为线段$${{B}_{1}{P}}$$的三等分点时$${，{D}{Q}{⊥}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$
C.在线段$${{B}_{1}{P}}$$的延长线上，存在一点$${{Q}{，}}$$使得$${{D}{Q}{⊥}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$
D.不存在点$${{Q}{，}}$$使$${{D}{Q}}$$与平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$垂直
7、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%已知四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$的顶点$${{A}{，}{B}{，}{C}{，}{D}}$$在空间直角坐标系中的坐标分别为$$( 1， ~ 0， ~ 0 )， ~ ( 0， ~ 1， ~ 0 )， ~ ( 0， ~ 0， ~ 1 )， ~ (-\frac{1} {3}， ~-\frac{1} {3}， ~-\frac{1} {3} )， ~ O$$为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）
A
A.$${{O}{D}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$
B.直线$${{O}{B}{/}{/}}$$平面$${{A}{C}{D}}$$
C.直线$${{A}{D}}$$与$${{O}{B}}$$所成的角是$${{4}{5}^{∘}}$$
D.二面角$${{D}{−}{O}{B}{−}{A}}$$为$${{4}{5}^{∘}}$$
10、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']正确率40.0%已知点$${{A}{（}{0}{，}{1}{，}{0}{）}{，}{B}{（}{−}{1}{，}{0}{，}{−}{1}{）}{，}{C}{（}{2}{，}{1}{，}{1}{）}{，}{P}{（}{x}{，}{0}{，}{z}{）}}$$，若$${{P}{A}{⊥}}$$平面$${{A}{B}{C}}$$，则点$${{P}}$$的坐标为（）
C
A.$${（{1}{，}{0}{，}{−}{2}{）}}$$
B.$${（{1}{，}{0}{，}{2}{）}}$$
C.$${（{−}{1}{，}{0}{，}{2}{）}}$$
D.$${（{2}{，}{0}{，}{−}{1}{）}}$$
1. 题目解析：
给定点 $$A(1, 3, 0)$$ 和 $$B(0, 3, -1)$$，向量 $$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, -1)$$。
平面 $$Oxy$$ 的法向量为 $$(0, 0, 1)$$，平面 $$Oxz$$ 的法向量为 $$(0, 1, 0)$$。
检查 $$\overrightarrow{AB}$$ 与法向量的关系：
- 与 $$Oxy$$ 的法向量点积为 $$-1 \neq 0$$，不平行也不垂直。
- 与 $$Oxz$$ 的法向量点积为 $$0$$，说明 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$Oxz$$ 平行。
因此，正确答案是 C。
4. 题目解析：
已知 $$\overrightarrow{AB} = (2, 4, x)$$，平面 $$\alpha$$ 的法向量 $$\vec{n} = (1, y, 3)$$。
因为 $$\overrightarrow{AB} \perp \alpha$$，所以 $$\overrightarrow{AB}$$ 与 $$\vec{n}$$ 平行，即存在 $$\lambda$$ 使得 $$(2, 4, x) = \lambda (1, y, 3)$$。
解得 $$\lambda = 2$$，$$y = 2$$，$$x = 6$$。
因此，正确答案是 A。
6. 题目解析：
建立坐标系，设 $$A_1(0, 0, 0)$$，$$B_1(1, 0, 0)$$，$$C_1(0, 1, 0)$$，$$A(0, 0, 1)$$，$$B(1, 0, 1)$$，$$C(0, 1, 1)$$，$$D(0, 1, 0.5)$$。
计算 $$P$$ 的坐标：延长 $$AD$$ 与 $$A_1C_1$$ 的交点为 $$P(0, -1, 0)$$。
直线 $$B_1P$$ 的参数方程为 $$(1, 0, 0) + t(-1, -1, 0)$$。
设点 $$Q$$ 为 $$(1 - t, -t, 0)$$，向量 $$\overrightarrow{DQ} = (1 - t, -t - 1, -0.5)$$。
平面 $$A_1BD$$ 的法向量为 $$\overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D} = (1, 0, 1) \times (0, 1, -0.5) = (-0.5, 0.5, 1)$$。
若 $$\overrightarrow{DQ}$$ 与法向量平行，解得 $$t = 0.5$$，即 $$Q$$ 为 $$B_1P$$ 的中点。
因此，正确答案是 A。
7. 题目解析：
给定点 $$A(1, 0, 0)$$，$$B(0, 1, 0)$$，$$C(0, 0, 1)$$，$$D(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$$。
A. 计算 $$\overrightarrow{OD} = (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$$，平面 $$ABC$$ 的法向量为 $$(1, 1, 1)$$，两者平行，故 $$\overrightarrow{OD} \perp ABC$$，正确。
B. $$\overrightarrow{OB} = (0, 1, 0)$$，平面 $$ACD$$ 的法向量为 $$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = (-1, 0, 1) \times (-\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$$，与 $$\overrightarrow{OB}$$ 不平行，故不平行，错误。
C. $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = \frac{-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{14}{9}} \cdot 1} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$$，角度不为 $$45^\circ$$，错误。
D. 二面角计算复杂，但通过向量法可验证不为 $$45^\circ$$，错误。
因此，正确答案是 A。
10. 题目解析：
给定点 $$A(0, 1, 0)$$，$$B(-1, 0, -1)$$，$$C(2, 1, 1)$$，$$P(x, 0, z)$$。
向量 $$\overrightarrow{PA} = (-x, 1, -z)$$，$$\overrightarrow{AB} = (-1, -1, -1)$$，$$\overrightarrow{AC} = (2, 0, 1)$$。
因为 $$\overrightarrow{PA} \perp ABC$$，所以 $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} = x - 1 + z = 0$$，$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AC} = -2x - z = 0$$。
解得 $$x = 1$$，$$z = -2$$。
因此，点 $$P$$ 的坐标为 $$(1, 0, -2)$$，正确答案是 A。
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