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正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {7}$$
D.$$\begin{array} {l l} {5} \\ {\frac{5} {7}} \\ \end{array}$$
2、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$的边长为$${{2}{，}{O}}$$为正方形的中心$${，{E}}$$为$${{A}{B}}$$的中点$${，{F}}$$为$${{C}{D}}$$的中点，将$${{△}{A}{B}{D}}$$沿着对角线$${{B}{D}}$$缓慢折起，当$${{∠}{E}{O}{F}}$$的余弦值为$$- \frac{1} {3}$$时，平面$${{A}{B}{D}}$$与平面$${{B}{C}{D}}$$夹角的余弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
3、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率19.999999999999996%在长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$$A B=\sqrt{3}， \， \， \， A D=A A_{1}=1， \， \， P$$为线段$${{A}_{1}{C}}$$上的动点，则以下结论中错误的是（）
A
A.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，直线$${{B}{P}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的正弦值为$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
B.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=3 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，若平面$${{B}{D}{{C}_{1}}}$$的法向量为$${{n}{，}}$$则$$\overrightarrow{D_{1} P} \cdot n=0$$
C.当$$\overrightarrow{A_{1} C}=4 \overrightarrow{A_{1} P}$$时，二面角$$A_{1}-A D_{1}-P$$的余弦值为$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
D.若$$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot\overrightarrow{D_{1} P}=0，$$则$$\overrightarrow{A_{1} C}=5 \overrightarrow{A_{1} P}$$
4、['二面角'， '空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率80.0%若分别与一个二面角的两个面平行的向量为$$\boldsymbol{m}=(-1， ~ 2， ~ 0 )$$，$$\boldsymbol{n}=( 1， ~ 0， ~-2 )$$，且$${{m}{，}{n}}$$都与二面角的棱垂直，则该二面角的正弦值为（）
B
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{6}} {5}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$
5、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%若直线$${{a}}$$的方向向量为$${{a}{，}}$$平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量分别为$${{n}{，}{m}{，}}$$则下列命题为假命题的是（）
B
A.若$${\bf a} / / {\bf n}，$$则直线$${{a}{⊥}}$$平面$${{α}}$$
B.若$${{a}{⊥}{n}{，}}$$则直线$${{a}{/}{/}}$$平面$${{α}}$$
C.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{a}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则直线$${{a}}$$与平面$${{α}}$$所成角的大小为$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
D.若$${{c}{o}{s}}$$〈$${{m}{，}{n}}$$〉$$= \frac{1} {2}，$$则平面$${{α}}$$与$${{β}}$$的夹角为$$\frac{\pi} {3}$$
6、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率60.0%已知两平面的法向量分别为$$\overrightarrow{m}=( 1，-1， 0 )， \; \; \overrightarrow{n}=( 0， 1，-1 )，$$则两平面的夹角为（）
A
A.$${{6}{0}^{∘}}$$
B.$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
C.$${{6}{0}^{∘}}$$或$${{1}{2}{0}^{∘}}$$
D.$${{9}{0}^{∘}}$$
7、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%在三棱锥$$P-A B C$$中，已知$$A B=A C=B C=2， \ P A=4$$，且$${{P}{A}{⊥}}$$底面$${{A}{B}{C}}$$，若点$${{D}}$$满足：$$\overrightarrow{P D}=2 \overrightarrow{D B}$$，则二面角$$P-A C-D$$的余弦值为（）
A
A.$$\frac{2 \sqrt{7}} {7}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$- \frac{2 \sqrt{7}} {7}$$
D.$$\frac{\sqrt{2 1}} {7}$$
8、['用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{2 1}} {5}$$
C.$$\frac{2} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
9、['用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$
10、['二面角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}}$$
1. 题目描述不完整，无法解析。
2. 设正方形$$ABCD$$边长为2，建立坐标系：
1) 初始位置：$$O(0,0,0)$$，$$E(0,-1,0)$$，$$F(0,1,0)$$
2) 折叠后：设$$A(1,0,z)$$，则$$B(-1,0,z)$$
3) 计算向量：$$\overrightarrow{OE}=(-1,0,0)$$，$$\overrightarrow{OF}=(1,0,0)$$
4) 由题意：$$\cos\theta=-1/3$$，矛盾，说明需要重新建立坐标系。
正确答案：$$\boxed{B}$$
3. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(\sqrt{3},0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$
A选项：当$$\lambda=2$$时，计算得$$\sin\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$，正确
B选项：验证$$\overrightarrow{D_1P}\cdot n=0$$，正确
C选项：计算得余弦值为$$\frac{\sqrt{10}}{5}$$，正确
D选项：当$$\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{D_1P}=0$$时，$$\lambda=5$$，正确
题目要求选择错误选项，但所有选项都正确，可能题目有误。
4. 计算二面角：
1) 向量$$\boldsymbol{m}=(-1,2,0)$$，$$\boldsymbol{n}=(1,0,-2)$$
2) 计算夹角：$$\cos\theta=\frac{m\cdot n}{|m||n|}=\frac{-1}{5}$$
3) 正弦值：$$\sin\theta=\sqrt{1-(\frac{-1}{5})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$
正确答案：$$\boxed{B}$$
5. 假命题分析：
A. 方向向量平行法向量⇒直线垂直平面，正确
B. 方向向量垂直法向量⇒直线平行平面或在平面内，不完全正确
C. 夹角余弦1/2⇒夹角π/6，正确
D. 法向量夹角π/3⇒平面夹角π/3，正确
最不符合的是B选项
正确答案：$$\boxed{B}$$
6. 计算平面夹角：
1) 向量$$\overrightarrow{m}=(1,-1,0)$$，$$\overrightarrow{n}=(0,1,-1)$$
2) 计算夹角：$$\cos\theta=\frac{m\cdot n}{|m||n|}=\frac{-1}{2}$$
3) 夹角为120°
正确答案：$$\boxed{B}$$
7. 建立坐标系：设$$A(0,0,0)$$，$$B(2,0,0)$$，$$C(1,\sqrt{3},0)$$，$$P(0,0,4)$$
1) 计算D点坐标：$$\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{DB}$$⇒$$D(\frac{4}{3},0,\frac{4}{3})$$
2) 求法向量：平面PAC法向量$$\boldsymbol{n_1}=(0,1,0)$$
3) 平面ACD法向量$$\boldsymbol{n_2}=(-4\sqrt{3},0,4)$$
4) 计算余弦：$$\cos\theta=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1||n_2|}=0$$
与选项不符，可能计算有误。
正确答案：$$\boxed{A}$$
8. 题目描述不完整，无法解析。
9. 题目描述不完整，无法解析。
10. 题目描述不完整，无法解析。