用空间向量研究两个平面所成的角-1.4 空间向量的应用知识点考前进阶单选题自测题答案-湖北省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率40.0%在一个不大于$${{9}{0}^{∘}}$$的二面角的两个半平面内，与二面角的棱所在直线的方向向量垂直的两个向量分别为$$( 0， ~-1， ~ 3 )， ~ ( 2， ~ 2， ~ 4 )，$$则这个二面角的余弦值为（）

A.$$\frac{\sqrt{1 5}} {6}$$

B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {5}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {4}$$

2、['用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率19.999999999999996%svg异常

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

3、['用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率60.0%已知两平面的法向量分别为$$\boldsymbol{m}=( 0， ~ ~ 1， ~ ~ 0 )， ~ ~ \boldsymbol{n}=( 0， ~ ~ 1， ~ ~ 1 )，$$则两平面的夹角为（）

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{1}{3}{5}^{∘}}$$

C.$${{4}{5}^{∘}}$$

D.$${{9}{0}^{∘}}$$

4、['空间向量的夹角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率80.0%若平面$${{α}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}_{1}=( 3， \ 2， \ 1 )，$$平面$${{β}}$$的一个法向量为$$\boldsymbol{n}_{2}=( 2， ~ 0， ~-1 )，$$则$${{α}}$$与$${{β}}$$所成角的余弦值是（）

A.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$

B.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 0}$$

C.$$- \frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$

D.$$\frac{\sqrt{7 0}} {1 4}$$

5、['用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率60.0%正$${{△}{A}{B}{C}}$$与正$${{△}{B}{C}{D}}$$所在平面垂直，则二面角$$A-B D-C$$的正弦值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{5}} {5}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

6、['用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率40.0%svg异常

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

7、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量的数量积'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率40.0%若长方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$A B=1， \， \， B C=C C_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， E， \， \， F， \， \， \， G$$分别为$$A D， ~ A B， ~ C_{1} D_{1}$$上的点，$$A E=E D， \， \， \， A F=F B， \， \， \， \overrightarrow{D_{1} G}=\lambda\overrightarrow{G C_{1}} ( \lambda\geqslant4 )$$分别记二面角$$G-E F-D_{1}， \， \， \， G-E F-C， \， \， \， G-F B-C$$的平面角为$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma，$$则

A.$$\gamma< \beta< \alpha$$

B.$$\beta< \gamma< \alpha$$

C.$$\alpha< \gamma< \beta$$

D.与$${{λ}}$$的值有关

8、['直线与平面垂直的性质定理'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率40.0%svg异常

A.$$\frac{2 \pi} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{\pi} {3}$$

D.$$\frac{5 \pi} {6}$$

9、['二面角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率60.0%正方体$${{A}{{C}_{1}}}$$中，截面$${{A}_{1}{B}{D}}$$与底面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成二面角$$A_{1}-B D-A$$的正切值等于（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

10、['用空间向量研究两个平面所成的角'， '平面的法向量及其应用']

正确率40.0%svg异常

A.$${{3}{0}^{∘}}$$

B.$${{4}{5}^{∘}}$$

C.$${{6}{0}^{∘}}$$$${}$$

D.$${{9}{0}^{∘}}$$

1. 二面角的余弦值可以通过两个半平面内垂直于棱的向量的夹角余弦求得。给定向量 $$(0, -1, 3)$$ 和 $$(2, 2, 4)$$，先计算它们的点积和模长：

$$(0)(2) + (-1)(2) + (3)(4) = 0 - 2 + 12 = 10$$ $$\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$ $$\sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$

余弦值为：

$$\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{10} \times 2\sqrt{6}} = \frac{10}{2\sqrt{60}} = \frac{5}{\sqrt{60}} = \frac{5}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$$

答案为 $$\boxed{A}$$。

3. 两平面的夹角等于其法向量的夹角。给定法向量 $$\boldsymbol{m} = (0, 1, 0)$$ 和 $$\boldsymbol{n} = (0, 1, 1)$$，计算点积和模长：

$$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0 \times 0 + 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1$$ $$|\boldsymbol{m}| = 1$$ $$|\boldsymbol{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

余弦值为：

$$\cos \theta = \frac{1}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

因此夹角为 $$45^\circ$$，答案为 $$\boxed{C}$$。

4. 两平面夹角的余弦值为其法向量夹角的余弦的绝对值。给定法向量 $$\boldsymbol{n}_1 = (3, 2, 1)$$ 和 $$\boldsymbol{n}_2 = (2, 0, -1)$$，计算点积和模长：

$$\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 3 \times 2 + 2 \times 0 + 1 \times (-1) = 6 - 1 = 5$$ $$|\boldsymbol{n}_1| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}$$ $$|\boldsymbol{n}_2| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$$

余弦值为：

$$\cos \theta = \frac{5}{\sqrt{14} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{70}} = \frac{\sqrt{70}}{14}$$

答案为 $$\boxed{D}$$。

5. 设正三角形边长为 1，建立坐标系计算。二面角 $$A-BD-C$$ 的正弦值可通过法向量叉积求得：

$$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

答案为 $$\boxed{C}$$。

7. 通过几何分析可知，二面角的大小关系为 $$\beta < \gamma < \alpha$$，答案为 $$\boxed{B}$$。

9. 正方体 $$AC_1$$ 中，截面 $$A_1BD$$ 与底面 $$ABCD$$ 的二面角正切值为 $$\sqrt{2}$$，答案为 $$\boxed{C}$$。

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