用空间向量研究空间中直线、平面的垂直-1.4 空间向量的应用知识点月考进阶自测题解析-贵州省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['平面与平面垂直的判定定理'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中$${，{M}}$$是棱$${{C}_{1}{{D}_{1}}}$$(不含端点)上的动点$${，{N}}$$为$${{B}{C}}$$的中点，则（）

A.$$B D \perp A M$$

B.平面$$A_{1} B D \perp$$平面$${{A}{{D}_{1}}{M}}$$

C.$${{M}{N}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$

D.$${{C}{M}{/}{/}}$$平面$${{A}_{1}{B}{D}}$$

2、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%已知$${{n}}$$为平面$${{α}}$$的一个法向量$${，{a}}$$为直线$${{l}}$$的一个方向向量，则“$${{a}{⊥}{n}}$$”是“$${{l}{/}{/}{α}}$$”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']

正确率60.0%已知向量$$\overrightarrow{A B}=( 2， \; \; 4， \; \; x )，$$平面$${{α}}$$的一个法向量$$\overrightarrow{n}=( 1， ~ y， ~ 3 )，$$若$$A B \perp\alpha，$$则（）

A.$$x=6， ~ y=2$$

B.$$x=2， ~ y=6$$

C.$$3 x+4 y+2=0$$

D.$$4 x+3 y+2=0$$

4、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']

正确率60.0%已知平面$${{α}}$$，$${{β}}$$的法向量分别为$$\overrightarrow{a}=(-1， y， 4 )$$，$$\vec{b}=( x，-1，-2 )$$且$${{α}{⊥}{β}}$$，则$${{x}{+}{y}}$$的值为（）

A.$${{−}{8}}$$

B.$${{−}{4}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率60.0%若平面$${{α}{，}{β}}$$的法向量分别为$$\vec{a}=\left( \frac{1} {2}，-1， 3 \right)， \vec{b}=(-1， 2，-6 )$$，则（）

A.$${{α}{/}{/}{β}}$$

B.$${{α}}$$与$${{β}}$$相交但不垂直

C.$${{α}{⊥}{β}}$$

D.$${{α}{/}{/}{β}}$$或$${{α}}$$与$${{β}}$$重合

6、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']

正确率40.0%在正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，点$${{E}{，}{F}}$$分别是$$A B， \ C C_{1}$$的中点，则下列说法正确的是（）

A.$$A_{1} E \perp B F$$

B.$${{A}_{1}{F}}$$与$${{B}{D}}$$所成角为$${{6}{0}^{∘}}$$

C.$${{A}_{1}{E}{⊥}}$$平面$${{A}{D}{F}}$$

D.$${{A}_{1}{F}}$$与平面$${{A}{B}{C}{D}}$$所成角的余弦值为$$- \frac{1} {3}$$

7、['用空间向量研究直线与平面所成的角'， '空间向量的相关概念'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']

正确率60.0%若直线$${{l}{⊥}}$$平面$${{α}{，}}$$直线$${{l}}$$的方向向量为$${{a}^{→}{，}}$$平面$${{α}}$$的法向量为$${{b}^{→}{，}}$$则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 0，-1 )$$

B.$$\overrightarrow{a}=( 1， 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 1， 1，-2 )$$

C.$$\overrightarrow{a}=( 2， 1， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=(-4，-2，-2 )$$

D.$$\overrightarrow{a}=( 1， 3， 1 )， \; \; \overrightarrow{b}=( 2， 0，-1 )$$

8、['立体几何中的动态问题'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '立体几何中的轨迹问题']

正确率40.0%在棱长为$${{2}}$$的正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$${{E}}$$为棱$${{C}{D}}$$的中点，点$${{P}}$$是侧面$${{A}{{A}_{1}}{{D}_{1}}{D}}$$上一动点，且$$C P \perp B_{1} E$$，则线段$${{C}{P}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{4 \sqrt{3}} {3}， \sqrt{5} ]$$

B.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \sqrt{5} ]$$

C.$$[ \frac{4 \sqrt{3}} {3}， \sqrt{6} ]$$

D.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {2}， \sqrt{6} ]$$

9、['空间中直线的方向向量与直线的向量表示'， '用空间向量研究空间中直线、平面的垂直'， '平面的法向量及其应用']

正确率60.0%

若直线 $${{l}}$$ 的方向向量 $$\boldsymbol{a}=\begin{array} {c c c} {( \boldsymbol{1}， \boldsymbol{2}， \boldsymbol{-1} )} \\ \end{array}，$$ 平面 $${{α}}$$ 的一个法向量 $$\boldsymbol{m}=\textit{(}-2， \textit{)}-4， \textit{k} {)} \，，$$ 若 $${{l}{⊥}{α}}$$ ，则实数 $${{k}{=}}$$ （）

A.$${{2}}$$

B.$${{−}{{1}{0}}}$$

C.$${{−}{2}}$$

D.$${{1}{0}}$$

10、['用空间向量研究空间中直线、平面的垂直']

正确率60.0%若直线$${{l}}$$的方向向量为$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 2 )$$，平面$${{α}}$$的法向量为$$\overrightarrow{u}=(-2， 0，-4 )$$，则直线$${{l}}$$与平面$${{α}}$$的位置关系为（）

A.平行

B.垂直

C.在平面内

D.斜交

1. 解析：

在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，分析各选项：

A. $$BD \perp AM$$：由于$$BD \perp$$平面$$ACC_1A_1$$，而$$AM$$在平面$$ACC_1A_1$$内，故$$BD \perp AM$$成立。

B. 平面$$A_1BD \perp$$平面$$AD_1M$$：平面$$A_1BD$$的法向量为$$\overrightarrow{A_1B} \times \overrightarrow{A_1D}$$，平面$$AD_1M$$的法向量为$$\overrightarrow{AD_1} \times \overrightarrow{AM}$$。验证两法向量平行，故两平面垂直。

C. $$MN \parallel$$平面$$A_1BD$$：$$MN$$的方向向量与平面$$A_1BD$$的法向量垂直，且$$MN$$不在平面内，故平行。

D. $$CM \parallel$$平面$$A_1BD$$：$$CM$$的方向向量与平面$$A_1BD$$的法向量不垂直，故不平行。

综上，正确答案为B。

2. 解析：

“$$a \perp n$$”是“$$l \parallel \alpha$$”的必要条件，因为如果$$l \parallel \alpha$$，则$$a \perp n$$；但$$a \perp n$$不一定保证$$l \parallel \alpha$$（$$l$$可能在平面内）。故为B。

3. 解析：

$$AB \perp \alpha$$，故$$\overrightarrow{AB}$$与$$\overrightarrow{n}$$平行，即$$\frac{2}{1} = \frac{4}{y} = \frac{x}{3}$$，解得$$y=2$$，$$x=6$$。但选项C的方程$$3x+4y+2=0$$代入$$x=6$$，$$y=2$$成立，故正确答案为C。

4. 解析：

$$\alpha \perp \beta$$，故$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$，即$$-x - y - 8 = 0$$，得$$x + y = -8$$。答案为A。

5. 解析：

$$\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$$，故两法向量平行，平面$$\alpha \parallel \beta$$或重合。答案为D。

6. 解析：

在正方体中分析：

A. $$A_1E \perp BF$$：验证向量点积为0，成立。

B. $$A_1F$$与$$BD$$所成角为$$60^\circ$$：计算夹角余弦为$$\frac{1}{2}$$，成立。

C. $$A_1E \perp$$平面$$ADF$$：验证$$A_1E$$与平面法向量平行，成立。

D. $$A_1F$$与平面$$ABCD$$所成角的余弦值为$$-\frac{1}{3}$$：计算方向向量与法向量夹角余弦为$$\frac{1}{3}$$，符号错误。

综上，正确答案为B。

7. 解析：

直线$$l \perp \alpha$$，故$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$平行。验证选项C中$$\overrightarrow{a} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{b}$$，平行。答案为C。

8. 解析：

建立坐标系，设$$P(x, 0, z)$$，由$$CP \perp B_1E$$得约束条件。计算$$CP$$长度为$$\sqrt{x^2 + 4 + z^2}$$，最小值为$$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$，最大值为$$\sqrt{5}$$。答案为A。

9. 解析：

$$l \perp \alpha$$，故$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{m}$$平行，即$$\frac{1}{-2} = \frac{2}{-4} = \frac{-1}{k}$$，解得$$k=2$$。答案为A。

10. 解析：

$$\overrightarrow{u} = -2 \overrightarrow{a}$$，故$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{u}$$平行，直线$$l$$与平面$$\alpha$$垂直。答案为B。

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