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正确率0.0%与模长为$${{1}{3}}$$的向量$$\overrightarrow{d}=( 1 2， 5 )$$平行的单位向量为$${{(}{)}}$$
A.$$( {\frac{1 2} {1 3}}， {\frac{5} {1 3}} )$$
B.$$(-\frac{1 2} {1 3}，-\frac{5} {1 3} )$$
C.$$( {\frac{1 2} {1 3}}， {\frac{5} {1 3}} )$$或$$(-\frac{1 2} {1 3}，-\frac{5} {1 3} )$$
D.$$( {\frac{1 2} {1 3}}，-{\frac{5} {1 3}} )$$或$$(-\frac{1 2} {1 3}， \frac{5} {1 3} )$$
2、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理']正确率60.0%已知空间向量$$\overrightarrow{P A}=( 1， \; \; 2， \; \; 4 )，$$$$\overrightarrow{P B}=( 5， \ \ -1， \ 3 )， \ \overrightarrow{P C}=( m， \ n， \ -1 )，$$则“$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面”是“$$1 0 m+1 7 n=-1 1$$”的（）
B
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3、['共面向量定理']正确率60.0%已知｛$$\textit{a， b， c}$$｝是空间的一个基底，若$$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}， \， \， \， \boldsymbol{q}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}，$$则（）
C
A.$$\boldsymbol{a}， \ \boldsymbol{p}， \ \boldsymbol{q}$$可构成空间的一个基底
B.$$b， ~ \boldsymbol{p}， ~ \boldsymbol{q}$$可构成空间的一个基底
C.$$\boldsymbol{c}， \boldsymbol{p}， \boldsymbol{q}$$可构成空间的一个基底
D.$${{p}{，}{q}}$$与$$\textit{a， b， c}$$中的任何一个都不能构成空间的一个基底
4、['共面向量定理'， '结构图'， '倾斜角与斜率']正确率80.0%若$$P ( 1， 0，-2 )$$，$$Q ( 3， 1， 1 )$$在直线$${{l}}$$上，则直线$${{l}}$$的一个方向向量为$${{(}{)}}$$
A.$$( 1， 2， 3 )$$
B.$$( 1， 3， 2 )$$
C.$$( 2， 1， 3 )$$
D.$$( 3， 2， 1 )$$
5、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 2， 5 )$$，$$\vec{b}=( 1， 5，-1 )$$，则$$3 \vec{a}-\vec{b}=( \textit{} )$$
A.$$(-8， 1 1， 1 4 )$$
B.$$(-9， 3， 1 5 )$$
C.$$(-1 0， 1， 1 6 )$$
D.$$( 0， 1 3， 2 )$$
6、['共面向量定理']正确率80.0%已知四面体$${{O}{A}{B}{C}}$$，空间的一点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{O M}=\frac{1} {4} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {6} \overrightarrow{O B}+\lambda\overrightarrow{O C}$$，若$${{M}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$共面，则$${{λ}{=}{(}{)}}$$
A.$$\frac{7} {1 2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{5} {1 2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '共面向量定理']正确率60.0%下面向量中，与向量$$\overrightarrow{m}=\ ( 0， \ 1， \ 1 ) \， \ \overrightarrow{n}=\ ( \ 1， \ 0， \ 1 )$$共面的向量是（）
B
A.$$\overrightarrow{a}={\bf\nabla} ( {\bf1}， {\bf\nabla} {\bf0} )$$
B.$$\vec{b} ~=~ ( 1， ~-1， ~ 0 )$$
C.$$\overrightarrow{c}={}_{( 1， \; \， 0， \; \， 0 )}$$
D.$$\overrightarrow{d}=( 1， ~ 0， ~-1 )$$
8、['共面向量定理'， '空间向量的线性运算']正确率40.0%下列等式中，使$$M， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面的个数是$${{(}{)}}$$
$$\oplus\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ;$$$$\ ) \overrightarrow{O M}=\frac{1} {5} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {3} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{O C} ;$$
$$\odot\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$$;$$\oplus\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$$．
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['共面向量定理']正确率80.0%已知$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$四点满足$$\overrightarrow{P A}=( 1， 1，-3 )$$，$$\overrightarrow{P B}=( 2，-1， 1 )$$，$$\overrightarrow{P C}=( 3， 4， m )$$，且$${{P}}$$，$${{A}}$$，$${{B}}$$，$${{C}}$$四点共面，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$- \frac{3 4} {3}$$
B.$$- \frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1 1} {3}$$
D.$$\frac{3 4} {3}$$
1. 解析：
向量 $$\overrightarrow{d} = (12, 5)$$ 的模长为 $$13$$（因为 $$\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$）。单位向量与 $$\overrightarrow{d}$$ 平行，因此可以表示为 $$\pm \frac{\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$$，即 $$\left( \frac{12}{13}, \frac{5}{13} \right)$$ 或 $$\left( -\frac{12}{13}, -\frac{5}{13} \right)$$。选项 C 正确。
2. 解析：
四点共面的条件是三个向量 $$\overrightarrow{PA}$$、$$\overrightarrow{PB}$$、$$\overrightarrow{PC}$$ 共面，即它们的混合积为零：
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 5 & -1 & 3 \\ m & n & -1 \end{vmatrix} = 0$$
展开行列式得到：
$$1 \cdot (-1 \cdot (-1) - 3 \cdot n) - 2 \cdot (5 \cdot (-1) - 3 \cdot m) + 4 \cdot (5 \cdot n - (-1) \cdot m) = 0$$
化简得：$$10m + 17n = -11$$。因此条件是充要的，选项 B 正确。
3. 解析：
$$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$$，$$\boldsymbol{q} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$$。由于 $$\boldsymbol{a}$$ 和 $$\boldsymbol{b}$$ 线性无关，$$\boldsymbol{p}$$ 和 $$\boldsymbol{q}$$ 也线性无关。加入 $$\boldsymbol{c}$$ 后，$$\{\boldsymbol{c}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}\}$$ 仍是线性无关的，可以构成基底。选项 C 正确。
4. 解析：
直线 $$l$$ 的方向向量为 $$\overrightarrow{PQ} = (3-1, 1-0, 1-(-2)) = (2, 1, 3)$$。选项 C 正确。
5. 解析：
$$3\vec{a} - \vec{b} = 3(-3, 2, 5) - (1, 5, -1) = (-9-1, 6-5, 15-(-1)) = (-10, 1, 16)$$。选项 C 正确。
6. 解析：
若 $$M$$、$$A$$、$$B$$、$$C$$ 共面，则系数之和为 1：
$$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \lambda = 1$$
解得 $$\lambda = \frac{7}{12}$$。选项 A 正确。
7. 解析：
向量 $$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$、$$\overrightarrow{c}$$、$$\overrightarrow{d}$$ 中，只有 $$\overrightarrow{d} = (1, 0, -1)$$ 可以表示为 $$\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n}$$，因此与 $$\overrightarrow{m}$$ 和 $$\overrightarrow{n}$$ 共面。选项 D 正确。
8. 解析：
四点共面的条件是系数之和为 1 或向量线性相关：
1. $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$：系数和为 $$1 - 1 - 1 = -1 \neq 1$$，不共面。
2. $$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$$：系数和为 $$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \neq 1$$，不共面。
3. $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$$：表示 $$M$$ 是 $$\triangle ABC$$ 的重心，四点共面。
4. $$\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$$：不直接满足共面条件。
只有 1 个等式满足共面条件，选项 A 正确。
10. 解析：
四点共面时，混合积为零：
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & m \end{vmatrix} = 0$$
展开行列式得到：
$$1 \cdot (-1 \cdot m - 1 \cdot 4) - 1 \cdot (2 \cdot m - 1 \cdot 3) + (-3) \cdot (2 \cdot 4 - (-1) \cdot 3) = 0$$
化简得：$$-m - 4 - 2m + 3 - 33 = 0$$，解得 $$m = -\frac{34}{3}$$。选项 A 正确。