空间向量基本定理的应用-空间向量基本定理知识点考前基础自测题答案-福建省等高一数学选择必修,平均正确率62.0%

1、['平面向量基本定理'， '空间向量基本定理的应用']

正确率40.0%如果$${{{e}_{1}}^{→}{，}{{{e}_{2}}^{→}}}$$是平面$${{a}}$$内所有向量的一组基底，那么（）

A.若实数$${{λ}_{1}{，}{{λ}_{2}}}$$使$${{λ}_{1}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{λ}_{2}}{{{e}_{2}}^{→}}{=}{{0}^{→}}{，}}$$则$${{λ}_{1}{=}{{λ}_{2}}{=}{0}}$$

B.空间任一向量可以表示为$${{a}^{→}{=}{{λ}_{1}}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{λ}_{2}}{{{e}_{2}}^{→}}{，}}$$这里$${{λ}_{1}{，}{{λ}_{2}}{∈}{R}}$$

C.对实数$${{λ}_{1}{，}{{λ}_{2}}{，}{{λ}_{1}}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{λ}_{2}}{{{e}_{2}}^{→}}}$$不一定在平面$${{α}}$$内

D.对平面$${{α}}$$中的任一向量$${{a}^{→}{，}}$$使$${{a}^{→}{=}{{λ}_{1}}{{{e}_{1}}^{→}}{+}{{λ}_{2}}{{{e}_{2}}^{→}}}$$的实数$${{λ}_{1}{，}{{λ}_{2}}}$$有无数对

3、['空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%已知$${{\{}{a}{，}{b}{，}{c}{\}}}$$是空间的一个基底，则可以与向量$${{p}{=}{a}{+}{b}{，}{q}{=}{a}{−}{b}}$$构成基底的向量是（）

A.$${{a}}$$

B.$${{b}}$$

C.$${{a}{+}{2}{b}}$$

D.$${{a}{+}{2}{c}}$$

4、['空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%已知空间向量$${{a}{，}{b}{，}}$$且$$\overrightarrow{A B}=3 a+6 b， \; \; \overrightarrow{B C}=-1 0 a+1 2 b， \; \; \overrightarrow{C D}=1 4 a-4 b.$$则一定共线的三点是（）

A.$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$

B.$${{B}{，}{C}{，}{D}}$$

C.$${{A}{，}{B}{，}{D}}$$

D.$${{A}{，}{C}{，}{D}}$$

5、['空间向量基本定理的应用']

正确率40.0%柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．如图是棱长均为$${{1}}$$的柏拉图多面体$${{E}{A}{B}{C}{D}{F}{，}{P}{，}{Q}{，}{M}{，}{N}}$$分别为$${{D}{E}{，}{A}{B}{，}{A}{D}{，}{B}{F}}$$的中点，则$$\overrightarrow{P Q} \cdot\overrightarrow{M N}=$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$$- \frac{1} {4}$$

D.$$- \frac{1} {2}$$

6、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%已知正方体$${{A}{B}{C}{D}{−}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}$$中，点$${{E}}$$为上底面$${{A}_{1}{{C}_{1}}}$$的中心，若$$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A A_{1}}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}，$$则$${{x}{，}{y}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{x}{=}{1}{，}{y}{=}{1}}$$

B.$$x=1， y=\frac{1} {2}$$

C.$$x=\frac{1} {2}， y=1$$

D.$$x=\frac{1} {2}， y=\frac{1} {2}$$

7、['空间向量基本定理的应用'， '异面直线所成的角'， '空间向量的夹角'， '空间向量的数量积']

正确率40.0%已知点$${{O}}$$是正$${{△}{A}{B}{C}}$$所在平面外的一点，若$${{O}{A}{=}{O}{B}{=}{O}{C}{=}{A}{B}{=}{1}{，}{E}{，}{F}}$$分别是$${{A}{B}{，}{O}{C}}$$的中点，则异面直线$${{O}{E}}$$与$${{B}{F}}$$所成角的余弦值为（$${）}$$．

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$- \frac{2} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$

D.$$- \frac{\sqrt{5}} {3}$$

8、['空间两直线的共面、异面问题'， '空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%在下列命题中：
$${①}$$若向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$共线，则$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$所在的直线平行；
$${②}$$若向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$所在的直线是异面直线，则$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}}$$一定不共面；
$${③}$$若三个向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}{{c}{⃗}}}$$两两共面，则$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}{{c}{⃗}}}$$三个向量一定也共面；
$${④}$$已知三个向量$${{a}{⃗}{，}{{b}^{⃗}}{，}{{c}{⃗}}}$$，则空间任意一个向量$${{p}{⃗}}$$，总可以唯一表示为$${{p}{⃗}{=}{x}{{a}{⃗}}{+}{y}{{b}^{⃗}}{+}{z}{{c}{⃗}}}$$.
其中正确命题的个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

9、['共面向量定理'， '平面向量的概念'， '空间向量基本定理的理解'， '空间向量基本定理的应用'， '命题的真假性判断'， '空间向量共线定理']

正确率60.0%在下列命题中：
$${①}$$若$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$共线，则表示$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$的有向线段所在的直线平行；
$${②}$$若表示$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$的有向线段所在直线是异面直线，则$${{a}{⃗}{、}{{b}^{⃗}}}$$一定不共面；
$${③}$$若$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$三向量两两共面，则$${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$三向量一定也共面；
$${④}$$ 已知三向量 $${{a}^{→}{、}{{b}^{→}}{、}{{c}^{→}}}$$ 不共面，则空间任意一个向量 $${{p}^{→}}$$ 总可以唯一表示为 $${{p}^{→}{=}{x}{{a}^{→}}{+}{y}{{b}^{→}}{+}{z}{{c}^{→}}{，}{x}{，}{y}{，}{z}{∈}{R}{．}}$$
其中正确命题的个数为 $${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

1. 题目解析：

选项A正确，因为$${{e}_{1}}^{→}$$和$${{e}_{2}}^{→}$$是基底，线性无关，故$$λ_1=λ_2=0$$。选项B错误，因为$${{a}^{→}}$$必须在平面$$α$$内。选项C错误，因为$$λ_1{{e}_{1}}^{→}+λ_2{{e}_{2}}^{→}$$一定在平面$$α$$内。选项D错误，因为基底表示唯一，实数对$$(λ_1,λ_2)$$唯一。正确答案是A。

3. 题目解析：

基底要求向量线性无关。$$p=a+b$$，$$q=a-b$$，与$$a+2c$$组合时，$$a$$、$$b$$、$$c$$线性无关，故$$a+2c$$与$$p$$、$$q$$构成基底。其他选项$$a$$、$$b$$、$$a+2b$$均与$$p$$、$$q$$线性相关。正确答案是D。

4. 题目解析：

计算向量关系：$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=4a+8b$$，$$\overrightarrow{AB}=3a+6b$$，故$$\overrightarrow{BD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}$$，说明$$A$$、$$B$$、$$D$$共线。正确答案是C。

5. 题目解析：

设坐标系计算向量：假设$$E$$在原点，$$A(1,0,0)$$，$$B(0,1,0)$$，$$D(0,0,1)$$，$$F(1,1,1)$$。中点$$P(0,0,0.5)$$，$$Q(0.5,0.5,0)$$，$$M(0.5,0,0.5)$$，$$N(0.5,1,0.5)$$。$$\overrightarrow{PQ}=(0.5,0.5,-0.5)$$，$$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$$，点积为$$0.5 \times 0 + 0.5 \times 1 + (-0.5) \times 0 = 0.5$$。正确答案是A。

6. 题目解析：

设正方体边长为1，$$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A_1(0,0,1)$$。上底面中心$$E(0.5,0.5,1)$$。$$\overrightarrow{AE}=(0.5,0.5,1)$$，$$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$$，$$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$$，$$\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$$。由题意得$$0.5=x \times 1 + y \times 0$$，$$0.5=x \times 0 + y \times 1$$，故$$x=0.5$$，$$y=0.5$$。正确答案是D。

7. 题目解析：

设$$O$$在正三角形$$ABC$$上方，$$A(1,0,0)$$，$$B(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$$，$$C(0,0,0)$$，$$O(0.5,\frac{\sqrt{3}}{6},h)$$。由$$OA=1$$得$$h=\frac{\sqrt{6}}{3}$$。$$E(0.75,\frac{\sqrt{3}}{4},0)$$，$$F(0.25,\frac{\sqrt{3}}{12},\frac{\sqrt{6}}{6})$$。$$\overrightarrow{OE}=(0.25,\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{\sqrt{6}}{3})$$，$$\overrightarrow{BF}=(-0.25,-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{6})$$。点积为$$0.25 \times (-0.25) + \frac{\sqrt{3}}{4} \times (-\frac{\sqrt{3}}{3}) + (-\frac{\sqrt{6}}{3}) \times \frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{2}{3}$$。取绝对值，余弦值为$$\frac{2}{3}$$。正确答案是A。

8. 题目解析：

命题①错误，共线向量可能在同一直线上。命题②错误，异面直线上的向量可能共面。命题③错误，两两共面不一定三向量共面。命题④错误，需基底才成立。正确答案是A。

9. 题目解析：

命题①错误，共线向量可能在同一直线上。命题②错误，异面直线上的向量可能共面。命题③错误，两两共面不一定三向量共面。命题④正确，三向量不共面时可作为基底。正确答案是B。

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