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正确率40.0%svg异常
C
A.$$\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}， ~ \frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}$$
C.$$- \frac{1} {2}， ~ \frac{2} {3}， ~ \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {2}， ~ \frac{1} {3}， ~ \frac{2} {3}$$
2、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知在三棱柱$$A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$$中，点$${{P}}$$在棱$${{B}_{1}{{C}_{1}}}$$上，且$$B_{1} P=\frac{1} {3} B_{1} C_{1}，$$则$$\overrightarrow{A P}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A A_{1}}$$
B.$$\overrightarrow{A B}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A C}+\frac{1} {2} \overrightarrow{A A_{1}}$$
C.$$\frac{1} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{2} {3} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A A_{1}}$$
D.$$\frac{2} {3} \overrightarrow{A B}+\frac{1} {3} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A A_{1}}$$
3、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的相关概念'， '空间向量的线性运算']正确率80.0%svg异常
A
A.$$- \frac1 2 \overrightarrow{a}+\frac1 2 \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$
B.$$- \frac1 2 \overrightarrow{a}-\frac1 2 \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$
C.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}-\frac{1} {2} \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$
D.$$\frac{1} {2} \overrightarrow{a}+\frac{1} {2} \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$
4、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量数量积的性质']正确率40.0%二面角$$\alpha-l-\beta$$为$$6 0^{\circ}， ~ A， ~ B$$是棱上的两点$$， \， \， A C， \， \， B D$$分别在半平面$${{α}{，}{β}}$$内$$， ~ A C \perp l， ~ B D \perp l$$且$$A B=A C=1， \， \， B D=2，$$则$${{C}{D}}$$的长为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
5、['异面直线垂直'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的数量积']正确率60.0%svg异常
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%下列等式中，使点$${{M}}$$与点$$A. ~ B. ~ C$$一定共面的是（）
D
A.$$\overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{O A}-2 \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}$$
B.$$\vec{O M}=\frac{1} {2} \vec{O A}+\frac{1} {3} \vec{O B}+\frac{1} {5} \vec{O C}$$
C.$$\vec{O M}+\vec{O A}+\vec{O B}+\vec{O C}=0$$
D.$$\vec{M A}+\vec{M B}+\vec{M C}=0$$
正确率60.0%在棱长为$${{2}}$$的正四面体$${{A}{B}{C}{D}}$$中，点$${{M}}$$满足$$\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}-( x+y-1 ) \overrightarrow{A D}， \: \: N$$为$${{A}{C}}$$的中点，当$${{A}{M}}$$最短时，$$\overrightarrow{A M} \cdot\overrightarrow{M N}=$$
A
A.$$- \frac{4} {3}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
8、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，若点$${{F}}$$是侧面$${{C}{{D}_{1}}}$$的中心，且$$\overrightarrow{A F}$$$$= \overrightarrow{A D}+m \overrightarrow{A B}-n \overrightarrow{A A_{1}}$$， 则$${{m}{，}{n}}$$的值分别为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$，$$- \frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$，$$- \frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$，$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$，$$\frac{1} {2}$$
9、['空间向量基本定理的应用']正确率80.0%svg异常
A
A.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {4} \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}$$
B.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}-\frac{1} {4} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {4} \overrightarrow{O C}$$
C.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}-\frac{1} {4} \overrightarrow{O B}-\frac{1} {4} \overrightarrow{O C}$$
D.$$\overrightarrow{O G}=\frac{1} {3} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {4} \overrightarrow{O B}-\frac{1} {4} \overrightarrow{O C}$$
正确率40.0%下列四个说法：
①若向量$${{\{}{{a}^{→}}}$$、$${{b}^{→}}$$、$${{c}^{→}{\}}}$$是空间的一个基底，则$${{\{}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}}$$、$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$、$${{c}^{→}{\}}}$$也是空间的一个基底．
②空间的任意两个向量都是共面向量．
③若两条不同直线$${{l}}$$，$${{m}}$$的方向向量分别是$${{a}^{→}}$$、$${{b}^{→}}$$，则$$l / \! / m \leftrightarrow\vec{a} / / \vec{b}.$$
④若两个不同平面$${{α}}$$，$${{β}}$$的法向量分别是$${{u}^{→}}$$、$${{v}^{→}}$$，且$$\overrightarrow{u}=( 1， 2，-2 )$$，$$\overrightarrow{v}=(-2，-4， 4 )$$，则$$\alpha/ / \beta.$$
其中正确的说法的个数是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题的详细解析：
第2题解析：
在三棱柱$$ABC-A_1B_1C_1$$中，点$$P$$在棱$$B_1C_1$$上，且$$B_1P = \frac{1}{3}B_1C_1$$。我们需要求$$\overrightarrow{AP}$$的表达式。
步骤如下：
1. 设$$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \vec{a_1}$$。
2. 点$$P$$在$$B_1C_1$$上，且$$B_1P = \frac{1}{3}B_1C_1$$，因此$$\overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{3}\overrightarrow{B_1C_1}$$。
3. $$\overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{c} - \vec{b}$$。
4. $$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1P} = \vec{b} + \vec{a_1} + \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} + \vec{a_1}$$。
因此，正确答案是选项 D：$$\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A A_{1}}$$。
第4题解析：
二面角$$\alpha-l-\beta$$为$$60^\circ$$，点$$A$$和$$B$$在棱$$l$$上，$$AC \perp l$$，$$BD \perp l$$，且$$AB = AC = 1$$，$$BD = 2$$。求$$CD$$的长度。
步骤如下：
1. 建立坐标系，设$$A$$在原点，$$l$$沿$$x$$轴方向，$$AC$$沿$$y$$轴方向。
2. 点$$A$$的坐标为$$(0, 0, 0)$$，点$$B$$的坐标为$$(1, 0, 0)$$，点$$C$$的坐标为$$(0, 1, 0)$$。
3. 由于二面角为$$60^\circ$$，$$BD$$在平面$$\beta$$内与$$l$$垂直，因此$$BD$$的方向向量为$$(0, \cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$$。
4. 点$$D$$的坐标为$$(1, 0 + 2 \cos 60^\circ, 0 + 2 \sin 60^\circ) = (1, 1, \sqrt{3})$$。
5. 计算$$CD$$的距离：$$CD = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 0 + 3} = 2$$。
因此，正确答案是选项 C：$$2$$。
第6题解析：
判断点$$M$$与点$$A$$、$$B$$、$$C$$共面的条件。
共面的条件是$$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} + z \overrightarrow{OC}$$，且$$x + y + z = 1$$。
分析选项：
A. $$\overrightarrow{OM} = 3 \overrightarrow{OA} - 2 \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，系数和为$$3 - 2 - 1 = 0 \neq 1$$，不共面。
B. $$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{OC}$$，系数和为$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} \neq 1$$，不共面。
C. $$\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0$$，即$$\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，系数和为$$-1 -1 -1 = -3 \neq 1$$，不共面。
D. $$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 0$$，即$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$，系数和为$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$$，共面。
因此，正确答案是选项 D。
第7题解析：
在棱长为$$2$$的正四面体$$ABCD$$中，点$$M$$满足$$\overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC} - (x + y - 1) \overrightarrow{AD}$$，$$N$$为$$AC$$的中点。当$$AM$$最短时，求$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MN}$$。
步骤如下：
1. 设$$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$$，$$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{d}$$。
2. $$\overrightarrow{AM} = x \vec{b} + y \vec{c} - (x + y - 1) \vec{d}$$。
3. 正四面体的内积关系：$$\vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c} = \vec{d} \cdot \vec{d} = 4$$，$$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{d} = 2$$。
4. 计算$$|\overrightarrow{AM}|^2$$并求最小值，得到$$x = y = \frac{1}{3}$$。
5. 此时$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{d}$$，$$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{d} = -\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c} - \frac{1}{3} \vec{d}$$。
6. 计算点积：$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MN} = -\frac{4}{3}$$。
因此，正确答案是选项 A：$$- \frac{4}{3}$$。
第8题解析：
在正方体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，点$$F$$是侧面$$CD_1$$的中心，且$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + m \overrightarrow{AB} - n \overrightarrow{AA_1}$$，求$$m$$和$$n$$的值。
步骤如下：
1. 设$$\overrightarrow{AB} = \vec{i}$$，$$\overrightarrow{AD} = \vec{j}$$，$$\overrightarrow{AA_1} = \vec{k}$$。
2. 点$$F$$是$$CD_1$$的中心，坐标为$$(0.5, 1, 0.5)$$。
3. $$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = 0.5 \vec{i} + \vec{j} + 0.5 \vec{k}$$。
4. 与题目表达式对比：$$\overrightarrow{AF} = \vec{j} + m \vec{i} - n \vec{k}$$，因此$$m = 0.5$$，$$n = -0.5$$。
因此，正确答案是选项 A：$$\frac{1}{2}$$，$$- \frac{1}{2}$$。
第10题解析：
判断四个说法的正确性：
① 若$$\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$$是基底，则$$\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, \vec{c}\}$$也是基底。正确，因为新向量组线性无关。
② 空间的任意两个向量都是共面向量。正确，两个向量总可以张成一个平面。
③ 若直线$$l$$和$$m$$的方向向量$$\vec{a}$$和$$\vec{b}$$平行，则$$l \parallel m$$。正确，方向向量平行等价于直线平行。
④ 平面$$\alpha$$和$$\beta$$的法向量$$\vec{u} = (1, 2, -2)$$，$$\vec{v} = (-2, -4, 4)$$，由于$$\vec{v} = -2 \vec{u}$$，两平面平行。正确。
因此，四个说法都正确，正确答案是选项 D：$$4$$。