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正确率60.0%已知非零向量$$\textit{a， b， c}$$共面，那么“存在实数$${{λ}{，}}$$使得$${{a}{=}{λ}{c}}$$”是“$$( \boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} ) \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} ( \boldsymbol{b} \cdot\boldsymbol{c} )$$”的（）
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的理解'， '空间向量基本定理的应用'， '用空间向量研究两条直线所成的角']正确率40.0%一个结晶体的形状为平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}，$$若以顶点$${{A}}$$为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则$${{B}{{D}_{1}}}$$与$${{A}{C}}$$所成角的余弦值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
3、['共面向量定理']正确率60.0%下列向量关系式中，能确定空间四点$$P， ~ Q， ~ R， ~ S$$共面的是（）
D
A.$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A Q}+\overrightarrow{A R}+\overrightarrow{A S}$$
B.$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A Q}+2 \overrightarrow{A R}+3 \overrightarrow{A S}$$
C.$$\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A Q}+2 \overrightarrow{A R}-3 \overrightarrow{A S}$$
D.$$\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{A Q}-4 \overrightarrow{A R}+3 \overrightarrow{A S}$$
5、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的理解']正确率80.0%已知空间中四个点$$O， ~ A， ~ B， ~ C，$$在下列说法中，能使$$\left\{\overrightarrow{O A}， \ \overrightarrow{O B}， \ \overrightarrow{O C} \right\}$$为空间的一个基底的是（）
D
A.$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$四点不共线
B.$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面，但不共线
C.$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$四点中任意三点不共线
D.$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$四点不共面
6、['共面向量定理']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=(-3， 2， 1 )， \overrightarrow{b}=( 2， 2，-1 )， \overrightarrow{c}=( m， 1 0， 1 )$$，若$$\overrightarrow{a}， \overrightarrow{b}， \overrightarrow{c}$$共面，则$${{m}{=}{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{5}}$$
7、['空间向量运算的坐标表示'， '共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%已知$$\overrightarrow{P A}=( 2， 1，-3 )，$$$$\overrightarrow{P B}=(-1， 2， 3 )， \; \; \overrightarrow{P C}=( 7， 6， \lambda)$$，若$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面，则$${{λ}{=}}$$（）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{−}{9}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
8、['共面向量定理']正确率80.0%已知向量$$\overrightarrow{a}=( 2， 1， 3 )$$，$$\vec{b}=(-1， 2，-2 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 7， 6， \lambda)$$，若向量$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$共面，则实数$${{λ}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
1. 题目解析：
首先分析条件“存在实数 $$λ$$ 使得 $$a = λc$$”：
1. 充分性：若 $$a = λc$$，则 $$(a \cdot b) c = (λc \cdot b) c = λ (c \cdot b) c$$，而 $$a (b \cdot c) = λc (b \cdot c) = λ (b \cdot c) c$$，故两者相等，充分性成立。
2. 必要性：假设 $$(a \cdot b) c = a (b \cdot c)$$，若 $$c = 0$$，显然成立；若 $$c \neq 0$$，则 $$a$$ 必须与 $$c$$ 共线，即存在 $$λ$$ 使得 $$a = λc$$。因此必要性也成立。
综上，条件是充要条件，答案为 C。
2. 题目解析：
设三条棱长为 $$1$$，建立坐标系：
1. 设 $$A(0, 0, 0)$$，$$B(1, 0, 0)$$，$$D(0, 1, 0)$$，$$A_1(0, 0, 1)$$。
2. 计算 $$BD_1$$ 向量：$$BD_1 = D_1 - B = (-1, 1, 1)$$。
3. 计算 $$AC$$ 向量：$$AC = C - A = (1, 1, 1)$$。
4. 夹角余弦：$$\cos \theta = \frac{BD_1 \cdot AC}{|BD_1| \cdot |AC|} = \frac{-1 + 1 + 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$。
但题目选项无 $$\frac{1}{3}$$，重新检查：
实际上，$$BD_1$$ 应为 $$D_1 - B = (-1, 1, 1)$$，$$AC$$ 为 $$(1, 1, 1)$$，计算结果 $$\cos \theta = \frac{1}{3}$$ 无误。可能题目有其他隐含条件，但最接近的选项是 D（$$\frac{\sqrt{6}}{6}$$ 不匹配）。
进一步检查，若 $$BD_1$$ 为 $$(1, -1, 1)$$，则 $$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$，仍不匹配。可能题目描述有误，暂无法确定。
3. 题目解析：
四点共面的条件是存在不全为零的实数 $$x, y, z$$ 使得 $$x \overrightarrow{AQ} + y \overrightarrow{AR} + z \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AP}$$，且 $$x + y + z = 1$$。
选项分析：
A：系数和为 $$1 + 1 + 1 = 3 \neq 1$$，不共面。
B：系数和为 $$1 + 2 + 3 = 6 \neq 1$$，不共面。
C：系数和为 $$1 + 2 - 3 = 0 \neq 1$$，不共面。
D：系数和为 $$2 - 4 + 3 = 1$$，共面。
答案为 D。
5. 题目解析：
空间四点 $$O, A, B, C$$ 不共面时，$$\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}$$ 可作为基底。
选项分析：
A：四点不共线，但可能共面。
B：四点共面，不能作为基底。
C：任意三点不共线，但四点可能共面。
D：四点不共面，满足条件。
答案为 D。
6. 题目解析：
向量共面的条件是行列式为零：
$$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ m & 10 & 1 \end{vmatrix} = 0$$
展开计算：
$$-3(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 10) - 2(2 \cdot 1 - (-1) \cdot m) + 1(2 \cdot 10 - 2 \cdot m) = 0$$
$$-3(2 + 10) - 2(2 + m) + 1(20 - 2m) = 0$$
$$-36 - 4 - 2m + 20 - 2m = 0$$
$$-20 - 4m = 0$$
$$m = -5$$
答案为 D。
7. 题目解析：
四点共面的条件是 $$\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC}$$ 共面，即行列式为零：
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 3 \\ 7 & 6 & \lambda \end{vmatrix} = 0$$
展开计算：
$$2(2 \cdot \lambda - 3 \cdot 6) - 1(-1 \cdot \lambda - 3 \cdot 7) - 3(-1 \cdot 6 - 2 \cdot 7) = 0$$
$$2(2\lambda - 18) - 1(-\lambda - 21) - 3(-6 - 14) = 0$$
$$4\lambda - 36 + \lambda + 21 + 60 = 0$$
$$5\lambda + 45 = 0$$
$$\lambda = -9$$
答案为 B。
8. 题目解析：
向量共面的条件是行列式为零：
$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & -2 \\ 7 & 6 & \lambda \end{vmatrix} = 0$$
展开计算：
$$2(2 \cdot \lambda - (-2) \cdot 6) - 1(-1 \cdot \lambda - (-2) \cdot 7) + 3(-1 \cdot 6 - 2 \cdot 7) = 0$$
$$2(2\lambda + 12) - 1(-\lambda + 14) + 3(-6 - 14) = 0$$
$$4\lambda + 24 + \lambda - 14 - 60 = 0$$
$$5\lambda - 50 = 0$$
$$\lambda = 10$$
答案为 A。