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正确率60.0%已知$$\{a， ~ b， ~ c \}$$是空间的一个单位正交基底，$$\{a+b， ~ a-b， ~ c \}$$是空间的另一个基底，若向量$${{p}}$$在基底$$\{\boldsymbol{a}， \ \boldsymbol{b}， \ \boldsymbol{c} \}$$下的坐标为$$( 3， ~ 2， ~ 1 )，$$则它在$$\{a+b， ~ a-b， ~ c \}$$下的坐标为（）
D
A.$$\left( \frac{1} {2}， ~ \frac{5} {2}， ~ 1 \right)$$
B.$$\left( \frac{5} {2}， ~ 1， ~ \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left( 1， ~ \frac{1} {2}， ~ \frac{5} {2} \right)$$
D.$$\left( \frac{5} {2}， ~ \frac{1} {2}， ~ 1 \right)$$
6、['空间向量基本定理的理解'， '空间向量基本定理的应用']正确率80.0%已知点$${{P}}$$为三棱锥$$O-A B C$$的底面$${{A}{B}{C}}$$所在平面内的一点，且$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {2} \overrightarrow{O A}+k \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}，$$则实数$${{k}}$$的值为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
8、['棱柱的结构特征及其性质'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']正确率60.0%已知正方体$$A B C D-A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$$中，点$${{F}}$$是侧面$$C D D^{'} C^{'}$$的中心，若$$\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A D}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A A^{\prime}}，$$则$${{x}{−}{y}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
9、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用']正确率60.0%对空间任意一点$${{O}}$$，$$\overrightarrow{O P}=\frac{3} {4} \overrightarrow{O A}+\frac{1} {8} \overrightarrow{O B}+\frac{1} {8} \overrightarrow{O C}，$$则$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点（）．
B
A.一定不共面
B.一定共面
C.不一定共面
D.无法判断
10、['空间向量基本定理的应用']正确率80.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=(-2， 2， 1 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 3， 4， z )$$，若$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$共面，则$${{z}}$$的值是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{−}{5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{−}{9}}$$
D.$${{9}}$$
2、向量 $$p$$ 在基底 $$\{a, b, c\}$$ 下的坐标为 $$(3, 2, 1)$$，即 $$p = 3a + 2b + c$$。要求在基底 $$\{a+b, a-b, c\}$$ 下的坐标，设坐标为 $$(x, y, z)$$，则有：
6、点 $$P$$ 在底面 $$ABC$$ 所在平面内，因此 $$\overrightarrow{OP}$$ 可以表示为 $$\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB} + \nu \overrightarrow{OC}$$，其中 $$\lambda + \mu + \nu = 1$$。题目给出 $$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + k \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$，因此：
8、设正方体边长为 1，建立坐标系，设 $$A(0,0,0)$$，$$B(1,0,0)$$，$$D(0,1,0)$$，$$A'(0,0,1)$$。点 $$F$$ 为侧面 $$CDD'C'$$ 的中心，坐标为 $$(0.5, 1, 0.5)$$。向量 $$\overrightarrow{AF} = (0.5, 1, 0.5)$$。根据题意：
9、检查系数和是否为 1：
10、三个向量共面，行列式为零：