空间向量基本定理的应用-1.2 空间向量基本定理知识点回顾进阶单选题自测题解析-上海市等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['向量的模'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%如图，已知在平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，$$| \overrightarrow{A B} |=| \overrightarrow{A D} |=| \overrightarrow{A A_{1}} |=1$$，且$$\angle A_{1} A D=\angle A_{1} A B=\angle D A B=\frac{\pi} {3}$$，则$$\left| \overrightarrow{A C}_{1} \right|=$$（）
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A.$${\sqrt {6}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

2、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%如图，已知四棱锥$$P-A B C D$$的底面$${{A}{B}{C}{D}}$$是平行四边形$${，{M}{，}{N}}$$分别为$$P C， ~ P D$$上的点，且$$\overrightarrow{N M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}+z \overrightarrow{A P}，$$$$\overrightarrow{P M}=2 \overrightarrow{M C}，$$$$\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{N D}，$$则$$x+y+z$$的值为（）

A.$$- \frac2 3$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{5} {6}$$

3、['用空间向量研究点到直线的距离'， '空间向量基本定理的应用'， '用空间向量研究两条直线所成的角'， '用空间向量研究两个平面所成的角']

正确率40.0%布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为$${{1}}$$，则下列结论错误的是（）

A. 点 $${{C}_{1}}$$ 到直线 $${{C}{Q}}$$ 的距离是$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

B.$$\overrightarrow{C Q}=-2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}+2 \overrightarrow{A A_{1}}$$

C.平面$${{E}{C}{G}}$$与平面$${{B}{{C}_{1}}{D}}$$的夹角余弦值为$$\frac{1} {3}$$

D.异面直线$${{C}{Q}}$$与$${{B}{D}}$$所成角的正切值为$${\sqrt {{1}{7}}}$$

4、['空间向量运算的坐标表示'， '空间向量基本定理的应用']

正确率60.0%已知$$\overrightarrow{a}=( 1， 0， 1 )$$，$$\vec{b}=(-2， 2， 1 )$$，$$\overrightarrow{c}=( 3， 4， z )$$，若$${{a}^{→}}$$，$${{b}^{→}}$$，$${{c}^{→}}$$共面，则$${{z}}$$的值是（）

A.$${{−}{5}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{−}{9}}$$

D.$${{9}}$$

5、['空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的数量积'， '空间向量的线性运算'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%如图，矩形$${{A}{D}{F}{E}}$$，矩形$${{C}{D}{F}{G}}$$，正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$两两垂直，且$${{A}{B}{=}{2}}$$，若线段$${{D}{E}}$$上存在点$${{P}}$$使得$$G P \bot B P$$，则边$${{C}{G}}$$长度的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

6、['立体几何中的四点共面、三点共线'， '共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率40.0%对于空间一点$${{O}}$$和不共线的三点$$A， \ B， \ C，$$有$$6 \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}，$$则一定有（）

A.$$O， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面

B.$$P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面

C.$$O， ~ P， ~ B， ~ C$$四点共面

D.$$O， \， \， P， \， \， A， \， \， \， B， \， \， \， C$$五点共面

7、['空间向量基本定理的应用'， '充分、必要条件的判定']

正确率60.0%已知$$A， ~ B， ~ C$$不共线，对空间任意一点$${{O}}$$，若$$\overrightarrow{O P}=\frac{1} {2} \overrightarrow{O A}+( \frac{1} {4}-\lambda) \overrightarrow{O B}+( \lambda+\frac{1} {4} ) \overrightarrow{O C}$$成立，则$$^\omega\lambda=1 "$$是$$\omega P， ~ A， ~ B， ~ C$$四点共面$${{”}}$$的$${{(}{)}}$$

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

8、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%已知空间四边形$$A B C D， ~ M， ~ N$$分别是$$B C， ~ C D$$的中点，如图，则$${\frac{1} {2}} ( \overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D} )-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$$等于（）

A.$$3 \overrightarrow{M N}$$

B.$$\frac{3} {2} \overrightarrow{M N}$$

C.$$3 \overrightarrow{N M}$$

D.$${\frac{1} {2}} \overrightarrow{B D}$$

9、['空间向量基本定理的应用'， '空间向量的线性运算']

正确率60.0%如图，在平行六面体$$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$$中，若$$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{a}， \ \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{b}， \ \overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{c}，$$则$$\overrightarrow{D_{1} B}=$$（）

A.$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$

B.$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$

C.$$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$

D.$$- \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$

10、['共面向量定理'， '空间向量基本定理的应用'， '用空间向量研究空间中直线、平面的平行']

正确率40.0%下列四个说法：
①若向量$${{\{}{{a}^{→}}}$$、$${{b}^{→}}$$、$${{c}^{→}{\}}}$$是空间的一个基底，则$${{\{}{{a}^{→}}{+}{{b}^{→}}}$$、$${{a}^{→}{−}{{b}^{→}}}$$、$${{c}^{→}{\}}}$$也是空间的一个基底．
②空间的任意两个向量都是共面向量．
③若两条不同直线$${{l}}$$，$${{m}}$$的方向向量分别是$${{a}^{→}}$$、$${{b}^{→}}$$，则$$l / \! / m \leftrightarrow\vec{a} / / \vec{b}.$$
④若两个不同平面$${{α}}$$，$${{β}}$$的法向量分别是$${{u}^{→}}$$、$${{v}^{→}}$$，且$$\overrightarrow{u}=( 1， 2，-2 )$$，$$\overrightarrow{v}=(-2，-4， 4 )$$，则$$\alpha/ / \beta.$$
其中正确的说法的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

1. 解析：在平行六面体$$ABCD-A_1B_1C_1D_1$$中，已知$$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AA_1}|=1$$，且夹角均为$$\frac{\pi}{3}$$。利用向量法计算$$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|$$：

$$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$$ $$\left|\overrightarrow{AC_1}\right|^2 = \left|\overrightarrow{AB}\right|^2 + \left|\overrightarrow{AD}\right|^2 + \left|\overrightarrow{AA_1}\right|^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA_1} + 2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA_1}$$ $$= 1 + 1 + 1 + 2 \times 1 \times 1 \times \cos\frac{\pi}{3} \times 3 = 3 + 3 = 6$$ $$\left|\overrightarrow{AC_1}\right| = \sqrt{6}$$

答案为 $$A$$。

2. 解析：由题意，$$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MC}$$和$$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{ND}$$，可得$$M$$和$$N$$的坐标表示。设基底为$$\overrightarrow{AB}$$、$$\overrightarrow{AD}$$、$$\overrightarrow{AP}$$，则：

$$\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{PC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$$ $$= \frac{2}{3}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD})$$ $$= \left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AP} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AD}$$ $$= -\frac{1}{6}\overrightarrow{AP} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$$ 因此$$x=\frac{2}{3}$$，$$y=\frac{1}{6}$$，$$z=-\frac{1}{6}$$，$$x+y+z=\frac{2}{3}$$。

答案为 $$B$$。

3. 解析：分析空间几何体，逐个验证选项：

- **A**：计算点$$C_1$$到直线$$CQ$$的距离，通过向量投影得$$\frac{\sqrt{6}}{3}$$，正确。 - **B**：$$\overrightarrow{CQ} = -2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AA_1}$$，正确。 - **C**：平面$$ECG$$与平面$$BC_1D$$的夹角余弦为$$\frac{1}{3}$$，正确。 - **D**：异面直线$$CQ$$与$$BD$$所成角的正切值为$$\sqrt{17}$$，正确。

题目要求选择错误的结论，但所有选项均正确，可能是题目描述有误。假设选项有误，最可能为 $$C$$。

答案为 $$C$$。

4. 解析：若$$\overrightarrow{a}$$、$$\overrightarrow{b}$$、$$\overrightarrow{c}$$共面，则行列式为零：

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & z \end{vmatrix} = 1(2z-4) - 0(-2z-3) + 1(-8-6) = 2z-4-14 = 2z-18 = 0$$ 解得$$z=9$$。

答案为 $$D$$。

5. 解析：建立坐标系，设$$D(0,0,0)$$，$$A(2,0,0)$$，$$B(2,2,0)$$，$$G(0,0,h)$$，$$E(2,0,2)$$。设$$P(2,0,t)$$在$$DE$$上，由$$GP \bot BP$$得：

$$\overrightarrow{GP} \cdot \overrightarrow{BP} = (2,0,t-h) \cdot (0,-2,t) = 0 + 0 + t(t-h) = 0$$ 由于$$t \neq 0$$，故$$t=h$$。又$$P$$在$$DE$$上，$$t \in [0,2]$$，所以$$h \leq 2$$。

答案为 $$D$$（$$2\sqrt{3}$$为干扰项，实际最小值为$$2$$）。

更正：最小值为$$2$$，答案为 $$C$$。

6. 解析：由$$6\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$$，整理得：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$$ 系数和为1，故$$P$$在$$A,B,C$$确定的平面内。

答案为 $$B$$。

7. 解析：若$$P,A,B,C$$四点共面，则系数和为1：

$$\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4}-\lambda\right) + \left(\lambda+\frac{1}{4}\right) = 1$$ 恒成立，与$$\lambda$$无关。因此$$\lambda=1$$是充分条件，但非必要条件。

答案为 $$A$$。

8. 解析：利用向量中点公式和线性运算：

$$\frac{1}{2}(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}) = \overrightarrow{MN}$$ 原式$$= \overrightarrow{MN} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{MN} + (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{BD}$$ 但$$\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$$，故原式$$= 3\overrightarrow{MN}$$。

答案为 $$A$$。

9. 解析：在平行六面体中，$$\overrightarrow{D_1B} = \overrightarrow{D_1D} + \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$。

$$\overrightarrow{D_1B} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$$

答案为 $$A$$。

10. 解析：逐一分析说法：

- **①**：$$\{a+b, a-b, c\}$$线性无关，是基底，正确。 - **②**：任意两个向量共面，正确。 - **③**：$$l \parallel m \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b}$$，正确。 - **④**：$$\vec{v} = -2\vec{u}$$，故$$\alpha \parallel \beta$$，正确。

答案为 $$D$$。

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